Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение в целых числах
Источники:
Подсказка 1
Тот факт, что у нас есть слагаемое, которое мало на что делится, говорит о том, что его, в теории, можно использовать при доказательстве в смысле рассмотрения делимости на его множители. Давайте, к тому же, заметим, что 2024 кратно 11 и будем рассматривать делимости на 11. Что вы можете сказать про делимость на 11 обеих частей при разных n? А при фиксированном n и разных m, k?
Подсказка 2
Возможные остатки квадратов mod 11 - это 0, 1, 3, 4 5, 9. Какие пары этих остатков в сумме дают 0(нам ведь нужна делимость на 11 левой части)? Только пара 0 - 0. Значит, что оба числа кратны 11, а значит левая часть кратна 11². Всегда ли кратна правая часть 11²? Если нет, то при каких n кратна 11²?
Подсказка 3
При n ≥ 2 первое слагаемое кратно 11², а 33 нет. Значит, кратность может быть только при n = 0 или n = 1. При n = 1, у нас правая часть превращается в 17 * 11². Значит, все таки есть кратность 11, а значит верны наши рассуждения про m и k. Но тогда мы можем представить их в виде 11t и сократить на 11², после чего, довести до ответа. А случай n = 0 - оставляется читателю в качестве упражнения.
Числа и являются целыми числами, следовательно, каждое из чисел и являются целыми, а значит, и их сумма является целыми числом, таким образом, число также является целым, т.е. число целое, откуда .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пусть . Тогда делится на 11, поскольку каждое из чисел 2024 и 33 кратно 11, но не делится на , т.к. первое слагаемое кратно , а второе — нет.
Пусть число дает остаток 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 при делении на 11, тогда число дает соответственно остаток 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1 при делении на 11. Докажем, что если хотя бы одно из чисел и не делится на 11, то и число не делится на 11.
Предположим обратное, тогда сумма остатков чисел и равна 11, следовательно, ровно одно из чисел и даёт четный остаток при делении 11, а значит, соответствующий квадрат даёт остаток 0 или 4 при делении на 11, но тогда второй остаток равен 0 или 7, что невозможно. Таким образом, каждое из чисел и кратно 11, следовательно, каждое из чисел и кратно , таким образом, кратно , но не кратно .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Тогда или
Пусть . Тогда , следовательно, кратно , а значит, как мы показали выше, каждое из чисел и кратно 11. Пусть , , где и являются целыми числами, следовательно, . Легко убедиться, что всеми решениями данного уравнения являются неупорядоченные пары Следовательно, все пары решений это , .
Пусть . Тогда . Если каждое из чисел и не превосходит по модулю 4, то сумма их квадратов не превосходит 32, следовательно, наибольшее из чисел и по модулю не меньше 5. С другой стороны, если какое-то из чисел по модулю больше 5, то его квадрат не меньше 36, что невозможно. Таким образом, в паре чисел хотя бы одно равно 5 по модулю, тогда второе равно 3 по модулю. Тем самым, мы показали, что все пары решений есть , .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары целых чисел и , для которых выполнено равенство
Разложим на множители:
Обозначим тогда Так как числа целые, то — делитель
Тогда ; , значит,
Подставим в формулы все делители числа 21: это Одновременно и являются целыми при и При этих получаем ответы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите множество всех целых значений суммы
где и — произвольные натуральные числа.
Подсказка 1
Пусть сумма из условия равна m, где m - натуральное число (так как х и у натуральные). Для удобства домножим получившееся равенство на 3ху и получим уравнение в натуральных числах. Всё последующее решение задачи — это просто аккуратное рассмотрение делимостей. Например, на что может делиться х?
Подсказка 2
В выражении много троек, проверьте, делится ли х на 3. Это можно сделать от противного.
Подсказка 3
Действительно, х делится на 3, значит можно сделать замену: пусть х = 3z, где z - натуральное число. Подставьте это в равенство и посмотрите какие ещё переменные могут делиться на 3.
Подсказка 4
Верно, либо у, либо z делится на 3. Рассмотрите оба случая и в каждом из них сделайте замену. Тут так же нужно будет подумать, на что могут делиться переменные, и как они относятся друг к другу: может какие-то из переменных делятся на другие?
Пусть — натуральное число. Тогда
Если не делится на , то делится на . Но в таком случае все члены равенства, кроме , делятся на , а делится только на , что невозможно. Значит, делится на , то есть для некоторого натурального числа . Имеем
откуда делится на или делится на .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пусть . Тогда
откуда делится на . Но в таком случае делится и на , то есть для некоторого натурального . Теперь имеем , откуда . Ясно, что число будет целым только при , при этом .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пусть . Тогда . Как и выше, отсюда следует, что делится на ,то есть для некоторого натурального . Теперь имеем , откуда делит , то есть . При получаем невозможные равенства
соответственно. При число , откуда — делитель , при этом
то есть . Следовательно, , и тогда .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары натуральных чисел, для которых
Подсказка 1
Давайте перенесем куб вправо и изменим внутри знак. Тогда, что мы можем сказать про ab, если 3^3 = 27? А что мы можем сказать про то как связаны a и b?
Подсказка 2
Из того, что 27 - куб, следует, что ab - тоже куб, так как справа у нас расположен куб. А что насчет связи a и b? Если у них есть общий делитель, то получается, что по некоторому простому модулю p, для которого a = 0 и b = 0 (mod p), выходит, что 1 = 0, mod p. Значит, p = 1, а значит a и b взаимнопросты. Как мы тогда можем скомбинировать наши результаты?
Подсказка 3
Тогда, a, b - кубы, ведь они взаимнопросты и их произведение - куб(если вам непонятно почему это так, то попробуйте рассмотреть произвольное p^3a и понять почему факт верен). Но тогда, выходит, что 27xy = 1 - x^3 - y^3(x^3 = a, y^3 = b). Хмм, мы пришли к уравнению, которое все же лучше начального, но также непонятно как решать. Давайте попробуем как-то оценить x через y, и быть может из этой оценки будет явно следовать ограниченность количества вариантов(подсказка внутри подсказки - 27xy > 0).
Подсказка 4
Но если у нас 27xy > 0, то x^3 - y^3 - 1 > 0, а значит y <= x - 1. Подставив эту оценку(после переноса всех слагаемых в одну сторону) в уравнение, мы и получим ограниченность количества решений, откуда и будет следовать ответ.
Во-первых, покажем, что и взаимно просты. Пусть это не так, тогда они делятся на какое-то простое число , а значит и делится на , но это не так.
Во-вторых, покажем, что и — точные кубы. Число — куб, — куб, значит и — куб. Если некоторое простое число входит в в степени , то оно либо входит в этой же степени в , а в — в нулевой, либо наоборот, так как . Таким образом, и — кубы, ведь все простые множители входят в них в степени.
Пусть , тогда извлечём из равенства кубический корень и получим:
Зафиксируем и сравним с ней . Ясно, что , потому что иначе правая часть отрицательна, а левая — положительна. Перепишем равенство в виде:
Нетрудно видеть, что
То есть равенство возможно лишь когда , откуда . Притом эта пара является решением при любом натуральном .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — натуральное число. Оказалось, что для всех существует натуральное что и делится на Докажите, что — точный квадрат.
Предположим противное. Зафиксируем и представим в виде Тогда при некотором целом выполнено Посмотрим на это равенство по модулю Левая часть сравнима с первый множитель правой части — с значит, сравнимо с то есть представимо в виде
Тогда равенство переписывается как
Раскрывая скобки и сокращая на имеем
Значит, делится на при этом иначе Но тогда или не меньше и при достаточно большом равенство невозможно.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все такие натуральные и для которых число является точным квадратом.
Пусть Оба основания сравнимы с по модулю Если показатели одной чётности, то сумма степеней даст остаток при делении на т.е. не будет точным квадратом. Значит, и разной чётности.
Пусть где — целое неотрицательное, а — натуральное. Тогда Делителями числа являются только степени тройки, поэтому откуда Правая часть этого выражения при кратна а левая нет, значит, т.е. и Остатки при делении на могут быть равны а правая часть даёт остаток Противоречие.
Пусть где — натуральное, а — целое неотрицательное. Аналогичными рассуждениями приходим к уравнению При получаем ответ. При правая часть сравнима с по модулю Степени семёрки при делении на дают остатки поэтому кратно Полагая где получим Поскольку нечётно, то для некоторого и для некоторого Выразив из первого равенства x и подставив во второе, после преобразований получим Правая часть этого равенства делится на а левая — нет. Противоречие.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если при число целое, то оно точный квадрат.
Подсказка 1
Внимательно посмотрим на выражение. Если наше выражение целое при любых натуральных n, то оно четное. Обозначим его за 2k.
Подсказка 2
Что можно сказать про k после возведения в квадрат полученного уравнения на n и k?
Подсказка 3
Что k — чётное, то есть k = 2m. Получили, что произведение взаимно простых равно квадрату числа. А часто ли такое происходит?
Подсказка 4
Нужно разобрать 2 случая, один из которых не подойдет из-за остатков по модулю 3
Если число целое при , то оно чётное. Обозначим . Тогда . Возводя это равенство в квадрат, получаем
Число чётное: , где .
Тогда
Поскольку числа и взаимно просты, следует рассмотреть два случая:
1) , где ;
2) , где .
В первом случае имеем , то есть даёт остаток 2 при делении на 3 . Это невозможно, так как точный квадрат может давать при делении на 3 только остатки 0 или 1.
Во втором случае получаем - точный квадрат.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все такие натуральные что делится на
Источники:
Очевидно, нечетно. Заметим, что
Значит, Пусть Тогда откуда и
то есть делимость (*) невозможна.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Простое и натуральные и удовлетворяют условиям
Найдите все такие тройки чисел
Преобразуем сначала правую часть тройного равенства к виду Теперь давайте воспользуемся тем, что правильным образом. Сделаем следующие преобразования:
При этом мы точно знаем, что слева скобки обе положительные, так как положительно, и вторая скобка больше первой. Тогда нам остаётся рассмотреть варианты следующие, когда и когда Заметим, что не подойдёт, так как скобки у нас одной чётности. В первом случае и тогда
Откуда натуральный корень только но тогда Такого быть не может. А во втором случае, аналогично подставляя, получаем, что Откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральное число имеет простой делитель и другой делитель связанный с соотношением . Найти наименьшее возможное при этих условиях число .
Подсказка 1
Давайте раскроем скобки, приведём подобные и посмотрим на выражения слева и справа. Что можно сказать про p и q, исходя из того, что они делители числа n? Ведь слева у нас выражение без свободного коэффициента, зависящее от p и q, а справа n.
Подсказка 2
Верно, можно сказать, что 2p кратно q и q кратно p. Как можно сделать оценки на p и q?
Подсказка 3
Можно сказать, что q = kp. Но тогда 2p кратно kp. Равенства быть не может по условию, остаётся только вариант 2p^2 = n. Отсюда понятно, как искать min n: нужно найти min p при 2p^2 ≥ 2023.
Раскроем скобки:
Раз и — это делители то выражение в левой части должно делиться на и Следовательно, получаем
То есть тогда откуда следует, что или Но так как подходит только Подставим:
Осталось перебрать чётные которые является удвоенным квадратом простого числа. Перебирая получаем ответ
Проверка:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для целых чисел , , известно, что , не делится на 3, равно квадрату простого числа, наконец, . Найдите все такие тройки .
Подсказка 1
Во-первых, давайте поймем, что если (a - c)(b - c) = p^2, то у нас есть не так много возможных случаев, так как a - c и b - c - это делители p^2, а их у нас всего +-1,+-p,+-p^2. Значит, у нас всего 6 вариантов. А как можно, используя условие, еще сократить количество вариантов, которые надо перебрать?
Подсказка 2
Можно, используя условие a < b, сказать, что a - c < b - c => у нас есть два варианта: первая скобка равна 1, вторая p^2 или первая равна -p^2, а вторая -1. Хорошо, у нас получилась совокупность систем. Как нам её решить?
Подсказка 3
Во-первых, надо избавиться от c (ни к селу, ни к городу это с) и получить, что a - b = p^2 - 1. При этом, a - b (то есть, p^2 - 1) не кратно 3. Но любой ненулевой остаток квадрата числа дает 1 по модулю 3. Значит, p кратно 3. Что тогда можно сказать про a, b, c? Как меняется наша система?
Подсказка 4
Это значит, что p = 3, а значит, a - b = 8; a^2 + b = 1000. Остаётся решить квадратное уравнение на а, которое получается из этой системы, и найти все с, которые подходят.
Второе условие можно записать как
По условию это значит, что Тогда
Следовательно, возможны следующие случаи
Из обеих совокупностей можно получить из которого можно получить, что не делится на
Так как и не делятся на а среди последовательных чисел обязательно найдется число, делящееся на то делится на 3. Но — простое, значит,
Получаем следующую систему
Из последнего уравнения получаем, что
Теперь найдем
Тогда может равняться
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Имеет ли уравнение
решения при условии, что и — простые числа?
Заметим, что (иначе слишком малая величина в левой части). Тогда можно представить как т.к. простые числа нечетные, корме , которая не подходит под ограничение. Тогда выражение преобразуется в:
В последнем уравнении распишем разность квадратов:
Чтобы не перебирать большое количество случаев, заметим что сумма множителей должна быть то есть степень Тогда будем искать среди разложений такое, что оно дает степень
Среди этих разложений нет ни одного, в котором сумма множителей это степень Следовательно, решений нет.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите в целых числах уравнение
Решений нет.
Решений нет
Решений нет
Решений нет
Пусть
Т.к. то
Если то решений нет, поскольку правая часть будет больше левой. Значит, Значит а
Аналогично получим решение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все целые тройки для которых верно
— сумма не не решение
— сумма не не решение
— сумма
— сумма не не решение
— сумма не не решение
— сумма не не решение
— сумма не не решение
— сумма
— сумма не не решение
Итого у нас принципиально разных решения. Остальные получаются перестановками переменных.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все натуральные числа и такие, что выполнено
Тогда
Получается, что нам достаточно найти такие что последний множитель квадрат, т.к. остальная часть уже квадрат. Но не является квадратом при натуральном Получается, что решений в натуральных числах нет.
Решений нет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите в целых числах уравнение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите в натуральных числах уравнение
Т.к. и — натуральные, то каждая из скобок представляет собой целое число. Произведение двух целочисленных скобок равно (а число простое) только в этих случаях:
или — и не натуральны. Не решение;
или — или не натуральное. Не решение;
или — Решения и
или — и не натуральны. Не решение;
Итого у нас всего решения в натуральных числах.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все простые для которых уравнение разрешимо в целых числах.
Пусть четное. Тогда четное; тогда четное; тогда делится на тогда делится на но не на тогда делится на но не на что невозможно. Значит — нечетные.
Второй переход верен в силу того, что нечетное. Тогда
a) и (). Но тогда что возможно только при Отсюда
б) и (). Но тогда что возможно только при Отсюда
Только при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — различные простые числа. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение
Т.к. и простые числа, а и натуральны, возможны только эти случаев.
— решение
— решение
— не решение, поскольку либо либо
— не решение, т.к. не натуральны;
— решение
— решение
— не решение;
— не решение;
Итого у нас всего решения. Все они различные, т.к. отношение во всех случаях различные ( соответственно в каждом случае).
4 решения —
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все тройки натуральных чисел для которых выполняется
где — простое число, большее
Заметим, что Первая скобка в силу натуральности хотя бы Вторая скобка всегда неотрицательна (), а значит, она может принимать значения либо либо либо большие Первый и последний случаи нам не подходят, т.к. произведение первой и второй скобки будет либо либо составное число. Значит, вторая скобка может принимать только значение Тогда Но когда сумма квадратов двух целых чисел равна Только когда один из квадратов равен а остальные равны Тогда тройка содержит числа в каком-то порядке для какого-то Значит, наше изначальное уравнение сводится к нахождению таких что Т.к. любое простое число, большее представляется в виде то наше уравнение всегда имеет решение, причем единственное.
() и все перестановки этого решения при или () и все перестановки этого решения при .