Пусть Оба основания сравнимы с по модулю Если показатели одной чётности, то сумма степеней даст остаток при делении на т.е. не будет точным квадратом. Значит, и разной чётности.

Пусть где — целое неотрицательное, а — натуральное. Тогда Делителями числа являются только степени тройки, поэтому откуда Правая часть этого выражения при кратна а левая нет, значит, т.е. и Остатки при делении на могут быть равны а правая часть даёт остаток Противоречие.

Пусть где — натуральное, а — целое неотрицательное. Аналогичными рассуждениями приходим к уравнению При получаем ответ. При правая часть сравнима с по модулю Степени семёрки при делении на дают остатки поэтому кратно Полагая где получим Поскольку нечётно, то для некоторого и для некоторого Выразив из первого равенства x и подставив во второе, после преобразований получим Правая часть этого равенства делится на а левая — нет. Противоречие.