Задача №76178: Разложение на целые скобки — Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Тема . Уравнения в целых числах

Разложение на целые скобки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения в целых числах

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76178

Решите в натуральных числах уравнение $(xy− 7)2 =x2+ y2.$

Показать ответ и решение

2 2 2 (xy− 7)= x + y

2 2 2 2 x y − 14xy+ 49− x − y = 0

x2y2− 12xy+ 36− x2− 2xy− y2 +13= 0

(xy − 6)2− (x+ y)2 =− 13

(xy− x− y− 6)(xy +x +y− 6)= −13

Т.к. $x$ и $y$ — натуральные, то каждая из скобок представляет собой целое число. Произведение двух целочисленных скобок равно $− 13$ (а $13$ число простое) только в этих случаях:

$1)xy− x− y− 6 =13,xy+y − 6 =− 1$

$x+ y = −7,xy = 12$

$x= −3, y = −4$ или $x= −4, y =−3$ — $x$ и $y$ не натуральны. Не решение;

$2)xy− x− y− 6 =− 13,xy+ x+ y− 6 =1$

$x+ y = 7,xy =0$

$x= 0, y = 7$ или $x= 7, y =0$ — $x$ или $y$ не натуральное. Не решение;

$3)xy− x− y− 6 =− 1,xy+ x+ y− 6= 13$

$x+ y = 7,xy =12$

$x= 3, y = 4$ или $x= 4, y =3$ — Решения $1$ и $2;$

$4)xy− x− y− 6 =1,xy+ x+ y− 6 =− 13$

$x+ y = −7,xy = 0$

$x= 0, y = −7$ или $x= −7, y = 0$ — $x$ и $y$ не натуральны. Не решение;

Итого у нас всего $2$ решения в натуральных числах.

Ответ:

$(3, 4), (4, 3)$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse