Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему
Источники:
Подсказка 1
Кажется, от дробей здесь нет пользы, они только пугают. Может, избавится от них? Только не забудьте про ОДЗ!
Подсказка 2
Получается как-то очень много одинаковых логарифмов. Когда много одинакового, то на помощь приходит замена.
Подсказка 3
Система из трёх не очень страшных уравнений, можно и подстановкой попробовать решить. Но не забывайте проверять решения на ОДЗ!
Запишем ОДЗ:
Преобразуем систему к виду
Сделаем замену: После преобразований получаем систему
Из первого уравнения системы выразим
Из третьего уравнения выразим
Подставим во второе уравнение системы, получим после преобразований уравнение
При получаем но соответствующие значения не удовлетворяют ОДЗ. При получаем следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для целых чисел , , известно, что . Найдите наименьшую возможную сумму .
Подсказка 1
Давайте подумаем. У нас есть сумма произведений каких-то констант на х, y, z. При этом, нам надо максимизировать x^2 + y^2 + z^2. Какое неравенство нам это напоминает? Что первым приходит в голову здесь?
Подсказка 2
Конечно же, неравенство КБШ! Тогда, по этому неравенству у нас выходит, что ((ln16)^2 + (ln8)^2 + (ln24)^2)(x^2 + y^2 + z^2) >= (ln6)^2. Тогда, выходит, что мы получили оценку на минимум нашей суммы. Достигается ли в КБШ равенство, если да, то когда?
Так то из последнего уравнения вида получаем , то есть следующую систему:
Поскольку то С учётом равенств запишем
Чтобы найти минимум, найдем координаты вершины параболы ветви которой направлены вверх, значит минимум достигается в вершине.
Так как парабола симметрична относительно вершины, то минимальное целое значение будет достигаться при Тогда искомое значение равняется
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Запишем ОДЗ:
Запишем уравнения в системе в один логарифм:
Подставляя в и получаем:
Поделим первое уравнение на второе и получим:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Может ли для некоторых оказаться, что
б) Может ли для некоторых оказаться, что
в) Могут ли при каких-то выполняться оба равенства?
Источники:
Подсказка 1
Вспомните, как выглядят свойства логарифма, вас в этой задаче пытаются немного запутать!
Подсказка 2
У нас две неизвестные и одно уравнение (в пунктах а и б по отдельности). Обычно когда переменных больше, чем уравнений, то у нас есть решения и их довольно много.
Подсказка 3
Чтобы придумать пример, можно взять a равным какому-то "хорошему" числу и попытаться решить уравнение относительно b. Таким образом вы найдёте примеры для пунктов а и б.
Подсказка 4
Теперь давайте подумаем про пункт в. У нас уже два уравнения и две неизвестные. Обычно это означает, что если решения и есть, то их мало, а может их и вовсе нет. Поэтому тут метод подбора уже скорее всего не сработает, нужно попытаться решить систему из двух уравнений...
Подсказка 5
У вас вряд ли получится решить эту систему так, как вы обычно решаете логарифмические уравнения, скорее всего, понадобятся оценки и понимание монотонности для доказательства того, что решений нет. Самый топорный способ: выразить a через b, подставить в другое уравнение, получить уравнение относительно b и показать (например, с помощью производной), что у него нет решений. Однако можно решить и более красиво через оценки...
Ясно, что числа и положительны.
a) Условие можно переписать в виде . Если , то , . Например, при имеем , , .
б) Равенство сводится к соотношению . Например, при получаем, что
в) Условие вида можно переписать в виде . Предположим, что пункты а) и б) одновременно выполняются. Заданные неравенства можно переписать в виде
Из первого равенства следует, что и имеют одинаковый знак. То есть либо они оба положительны (тогда ), либо оба отрицательны (). В силу положительности чисел и имеем .
Если
Если
Пришли к противоречию.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Для начала докажем следующее неравенство:
Последнее неравенство, верно, значит, верно требуемое.Теперь выпишем ограничения на :
Первые два уравнения выполнены всегда в силу доказанного. Тогда преобразуем оставшиеся:
Первое уравнения верно для второе - для Третье верно для всех так как дискриминант меньше 0. Тогда Заметим, что если то тогда неравенство не будет выполнено. Теперь преобразуем исходное неравенство с учетом ограничений:
Тогда по методу рационализации:
Так как при ограничении то
по доказанному ранее. Тогда мы можем умножить на положительное число
Заметим, что что всегда меньше нуля при нашем ограничении на Тогда имеем:
Тогда с учетом ограничений получим, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Запишем ОДЗ:
Рассмотрим два случая:
1) , тогда логарифмическая функция убывает, а условие эквивалентно
2) , в таких условиях получим
Осталось учесть ОДЗ и записать ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Какое из двух чисел больше:
Преобразуем неравенство
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Из ОДЗ , заменим , тогда , получим
Далее . Мы делали неравносильные переходы, поэтому нужно проверить ОДЗ и подставить для проверки, останется только
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
Начнём с ОДЗ: выпишите и решите все ограничения. Также обратите внимание, какие значения может принимать основание логарифма?
Подсказка 2
Какое равносильное преобразование мы можем сделать, чтобы избавиться от логарифма? Сделайте его!
Подсказка 3
Основание логарифма точно больше 1, так что переход к неравенству на аргументы будет равносильным. Осталось решить обычное неравенство с модулем и записать ответ!
Неравенство эквивалентно
Заметим, что основание логарифма на ОДЗ больше единицы, отсюда неравенство равносильно системе
Учтём, что и напишем ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
Логарифмы в обеих частях, с разными основаниями, x содержится и в аргументе, и в основании обоих логарифмов... Давайте "причешем" наше выражение. Для начала разберёмся с основаниями - попробуем вынести оттуда x и привести логарифмы к одному основанию
Подсказка 2
Перейдём, например, к основанию 3 (используя формулу о делении логарифмов с одним основанием), так как оба основания кратны трём. Кажется, всё ещё ничего не видно. Тогда продолжим причёсывать - теперь, когда у всех логарифмов общие основания, попробуем оставить всем логарифмам одинаковый аргумент.
Подсказка 3
Да, можем вынести степени и коэффициенты из аргумента логарифма, оставив везде только х, после чего заменить log₃ x на t - и получим неравенство без логарифмов, которые мы решать уже умеем!
Переходя в обоих логарифмах к основанию 3, имеем:
Обозначаем и получаем:
откуда
Возвращаясь к переменной , окончательно получаем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство:
Источники:
Подсказка 1
Очень напрашивается замена страшного логарифма, поэтому давайте будем доверять своим желаниям и сделаем её. Пусть это t. Тогда так как при t = ±1 получается равенство, можно рассмотреть случаи расположения t относительно -1 и 1
Подсказка 2
Можно воспользоваться знанием про равенство при |t| = 1 и оценить левую часть при помощи этого.
Подсказка 3
Сразу сумму скобочек неудобно оценивать, но их можно оценить по отдельности: в каждом из случаев получается, что каждая скобочка больше или меньше 2 в какой-то степени, а в сумме удачно получается 2²⁰²²! А дальше не забываем про обратную замену и выписываем нужные х в ответ
Пусть тогда
Рассмотрим случаи:
Так как
при
Следовательно, при неравенство не выполнятся.
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вася придумал новую операцию на множестве положительных чисел
Найдите логарифм числа по основанию
Источники:
Подсказка 1
Новая операция, придуманная Васей, конечно, прекрасна, но работать с ней неудобно, давайте несколько преобразуем её. Если сказать, что a = e^ln(a), тогда Васина операция примет вид a✱b = e^(ln(a)b). Что мы получим, если возьмем натуральный логарифм от данной операции?
Подсказка 2
ln(a✱b) = ln(a)ln(b). Такое обилие натуральных логарифмов явно намекает нам, что удобнее всего будет работать, если мы приведем наше выражение к новому основанию e.
Подсказка 3
Далее несколько раз воспользуемся свойствами логарифма и преобразуем произведения выражений под логарифмом в сумму логарифмов, а отношения - в разность.
Подсказка 4
В итоге должно получится ((ln(a) + ln(b))*(ln(a) + ln(b)) - ln(a)a - ln(b)b) / (ln(a)b). Попробуйте дойти от данного выражения до ответа путем несложных алгебраических преобразований.
Запишем операцию Васи в более удобном виде:
Поэтому
Теперь нужно применить это для вычисления, попутно воспользовавшись свойством логарифмов
Обозначим и Тогда в числителе написано
а в знаменателе . В результате дробь равна 2.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа больше Найдите наименьшее возможное значение выражения
Подсказка 1
Давайте для начала распишем нормально сумму с помощью свойств логарифма) Избавимся от степеней, выцепим просто числа и т.д. Что в конце остается?
Подсказка 2
В конце просто будет сумма из каких-то обычных чисел и логарифмов с коэффициентами, причем там логарифмы интересного вида: основание a и аргумент b, основание b и аргумент c, и т.д. Попробуйте придумать, как можно здесь сделать хорошую оценку)
Подсказка 3
Для начала докажите, что произведение таких 4ех логарифмов равно единице с помощью формулы перехода к новому основанию, а после просто примените неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом и получите нужную оценку! Только не забудьте привести пример, когда она достигается)
По формуле перехода к новому основанию Также все эти четыре множителя положительны, поскольку все числа больше
Преобразуем и оценим имеющееся выражение
здесь в последнем переходе использовалось неравенство между арифметическим и средним геометрическим для четырёх положительных чисел
Также отметим, что значение достигается, например, при поскольку все четыре числа будут равны
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить неравенство
ОДЗ определяется условиями:
На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству
1) Пусть тогда неравенство (*) равносильно каждому из неравенств , , , откуда следует, что значения из интервала решения неравенства (*).
2) Пусть тогда неравенство (*) равносильно неравенству откуда .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить неравенство
ОДЗ:
Так как при то исходное неравенство ОДЗ равносильно неравенству
Рассмотрим два возможных случая: и
- 1.
-
Неравенство (*) равносильно каждой из систем неравенств
откуда следует, что
- 2.
-
Неравенство (*) равносильно каждой из систем неравенств
откуда получаем, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ задаётся пересечением условий .
Обозначим , получим
Далее , тогда
Рассмотрим два случая
-
Пусть , то есть
Заметим, что при выполнено первое неравенство объединения. Если , то из первого неравенства системы верно , что не выполнено из ОДЗ.
-
Теперь . Здесь
Решим второе и третье неравенства и получим , что подходит в первое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
ОДЗ:
Перепишем равенство
Пусть . Тогда
Под условие подходит только
Пусть . Получим
Под условие подходят оба корня.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
Посмотрим на данное неравенство. Слева произведение двух логарифмов, справа 0. О чем может говорить нам структура данного неравенства?
Подсказка 2
Вам пока ничего не говорит структура данного неравенства? А как бы вы его решали, если бы слева было не произведение логарифмов, а просто один логарифм? А разве что-то меняется, если у нас произведение? Какой метод можно применить тогда?
Подсказка 3
Конечно, метод рационализации к каждому логарифму по отдельности. Примените метод рационализации, учтите ОДЗ и получите ответ.
ОДЗ:
По методу рационализации на ОДЗ неравенство равносильно:
По методу интервалов
Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
Преобразуйте, с помощью свойств логарифмов правую часть, чтобы слева и справа была одинаковая структура неравенства. Найдите ОДЗ.
Подсказка 2
ОДЗ здесь очень даже простое х<4. Но мы же еще и преобразовали неравенство. Хмм… И слева и справа у нас есть log_(5-x)(25). А может на него можно поделить? А как найти его знаки?
Подсказка 3
Конечно, нужно, зная, что х<4, понять что этот логарифм положительный. Тогда слева и справа у нас остается два логарифма по одному основанию, к которым можно применить…
Подсказка 4
Метод рационализации! Примените, разложите полученное выражение на множители и, учитывая ОДЗ, найдите ответ.
ОДЗ:
По свойствам логаримов неравенство эквивалентно
Из ОДЗ получаем тогда можем домножить на него обе части неравенства без смены знака:
Осталось учесть ОДЗ и записать ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
Сперва замечаем, что основания логарифмов зависят от x, а это не очень приятно. «Перевёрнем» логарифмы со сменой основания и приведём дроби к общему знаменателю. Что же дальше?
ОДЗ:
По свойствам логарифма неравенство эквивалентно
По методу рационализации на ОДЗ неравенство эквивалентно
По методу интервалов получаем
С учётом ОДЗ получаем ответ.