Функции, содержащие модуль —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 22. Функции и их свойства. Графики функций

22.04 Функции, содержащие модуль

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела функции и их свойства. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45267

Постройте график функции $| | y = ||-2-+ 1||. |3− x |$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение в правой части уравнения функции:

|| 2 || ||2 + (3− x)|| ||5− x|| ||3-− x-+ 1||= ||-3−-x--||= ||3−-x||

Раскроем знак модуля:

(|5−x, при x < 3 y = {3−−x5−x, при 3< x≤ 5 |(5−3x−x 3−x, при x > 5

Таким образом,

( x−5 -2- |{ x5−−3x = 1−2 x−3, при x <3 y = |( x−3 = x−3 − 1, при 3≤ x ≤ 5 xx−−53 = 1− x2−3, при x >− 2

Построим график этой кусочно-заданной функции:

$xyyyyyy110 ===== mmmmm,,,,, m m 0 m m <=<=> 00m11 < 1$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ не имеет точек пересечения с графиком.
Если $m = 0,$ то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $0 <m < 1,$ то прямая $y =m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m = 1,$ то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $m > 1,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком исходной функции только при $m ∈ {0;1}.$

Ответ:

$m ∈ {0;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#45265

Постройте график функции $y = |x2 +8x +12|.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение в правой части уравнения функции:

2 |x + 8x+ 12|= |(x+ 6)(x + 2)|

Раскроем знак модуля:

( |{ −(x+ 6)⋅−(x+ 2), при x< −6 y =|( (x+ 6)⋅−(x+ 2), при − 6 ≤ x≤ −2 (x+ 6)(x+ 2), при x> −2

Таким образом,

( |{ x2+ 8x+ 12= (x+ 4)2 − 4, при x < −6 y =| −(x2+ 8x+ 12)= −(x+ 4)2+ 4, при − 6 ≤ x≤ −2 ( x2+ 8x+ 12= (x+ 4)2 − 4, при x > −2

Построим график этой кусочно-заданной функции. Можно заметить, что график данной нам функции получается при помощи отражения части графика функции $2 y = (x+ 4) − 4,$ находящейся в нижней полуплоскости, в верхнюю относительно оси $Ox.$

$xyyyyyy110 = = = = = mmmmm,,,,, mm0mm<<==>m0044< 4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ не имеет точек пересечения с графиком.
Если $m = 0,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $0< m < 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно четыре точки пересечения с графиком.
Если $m = 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $m > 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком исходной функции только при $m =4.$

Ответ:

$m = 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#45264

Постройте график функции $y = −x2+ 6|x|− 5.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

Раскроем знак модуля:

{ 2 y = −x2+ 6x− 5, при x≥ 0 −x − 6x− 5, при x< 0

Таким образом,

{ y = −(x− 3)2 +4, при x ≥0 −(x+ 3)2 +4, при x < 0

Построим график этой кусочно-заданной функции:

$xyyyyyy110 = = = = = mmmmm,,,,, mm−mm5<==><−−m4455 <4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < −5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m = −5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $− 5< m < 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно четыре точки пересечения с графиком.
Если $m = 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m > 4,$ то прямая $y = m$ не имеет точек пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком исходной функции при $m ∈(−∞; −5)∪ {4}.$

Ответ:

$m ∈ (−∞; −5)∪{4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#44292

Постройте график функции $y = x2− 4|x|− x$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 y = x2− 4x− x, еcли x ≥ 0 ⇔ x − 4(− x)− x, если x <0 {x2− 4x− x, если x≥ 0 ⇔ y = 2 ⇔ x + 4x− x, если x< 0 {x2 − 5x, если x≥ 0 ⇔ y = x2+ 3x, если x< 0

График функции при $x ≥0$ — это парабола $y =x2 − 5x.$

Найдем вершину параболы:

b − 5 5 xв. = −2a = −-2-= 2 ( ) y = 5 2− 5⋅ 5 = 25− 25 =− 25 в. 2 2 4 2 4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 0:$


$x$	$5 2$	2	1	0	3	4	5	6

$y$	$− 25 4$	$− 6$	$− 4$	0	$− 6$	$− 4$	0	6

График функции при $x <0$ — это парабола $y =x2 +3x.$

Найдем вершину параболы:

xв. = − b-= − 3 2a 2 ( )2 ( ) yв. = − 3 + 3⋅ − 3 = 9− 9 = − 9 2 2 4 2 4

Построим таблицу значений для параболы при $x< 0 :$


$x$	$− 32$	$− 1$	0	$− 2$	$− 3$	$− 4$

$y$	$− 94$	$− 2$	0	$− 2$	0	4

Построим график функции:

$xyyyyy110 ==== −−0m62,,, m2525> 0$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y = m$ имеет с графиком 1, 2 или 3 общие точки.

Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < −6,25,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m = −6,25,$ то прямая $y = m$ имеет ровно одну точки пересечения с графиком.
Если $− 6,25< m < − 2,25,$ то прямая то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m = − 2,25,$ то прямая $y =m$ имеет три точки пересечения с графиком.
Если $− 2,25< m < 0,$ то прямая $y =m$ имеет четыре точки пересечения с графиком.
Если $m = 0$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $m > 0$ то то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет 1, 2 или 3 точки пересечения, когда

m ∈[−6,25;− 2,25]∪ [0;+∞ )

Ответ:

$m ∈ [− 6,25;−2,25]∪[0;+ ∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#27284

Постройте график функции $2 y = x − 3|x|− x.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y =m$ имеет с графиком не менее одной, но не более трех общих точек.

Показать ответ и решение

Для начала раскроем функцию модуля и запишем исходную функцию следующим образом:

{x2 − 4x при x ≥0 y = 2 x +2x при x <0

1. Исследуем функцию на интервале $(− ∞;0).$ На этом интервале график функции совпадает с графиком функции $y = x2+ 2x.$

График функции $y = x2+ 2x$ — парабола. Найдём вершину параболы:

b 2 xв. = −2a = −2 = −1 yв. = − (− 1)2+ 2⋅(−1)= − 1

Тогда эта парабола получена сдвигом параболы $2 y = x$ на 1 единицу влево по оси $OX$ и на 1 единицу вниз по оси $OY.$

2. Исследуем функцию на полуинтервале $[0;+ ∞ ).$ На этом полуинтервале график функции совпадает с графиком функции $y = x2− 4x.$

График функции $y = x2− 4x$ — парабола. Найдём вершину параболы:

b − 4 xв. = −2a = −-2-= 2 yв. = 22− 4 ⋅2= −4

Тогда эта парабола получена сдвигом параболы $y = x2$ на 2 единицы вправо по оси $OX$ и на 4 единицы вниз по оси $OY.$

Отметим также, что при $x= 0$ функция примет значение $y = 0.$

Теперь мы можем построить график исходной функции:

$xyyyyyyyy110 = = = = = = = m−−mm0m,,,,41m−−m <41><<−04mm << −01$

Опираясь на построенный график, посмотрим теперь на различные положения прямой $y = m$ относительно этого графика.

При $m <− 4$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.
При $m = −4$ прямая $y =m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
При $− 4< m < −1$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
При $m =− 1$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
При $− 1 <m < 0$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно четыре общие точки.
При $m =0$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
При $m >0$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Таким образом, подходит только $− 4≤ m ≤ −1$ и $m ≥ 0.$

Ответ:

$− 4 ≤ m ≤− 1; m ≥ 0$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел