Неравенства —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

20.03 Неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45851

Решите неравенство:

(2 )2 ( 2 ) x − 5 − 10 x − 5 − 11≤ 0

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x2− 5= t.$ Тогда $( ) x2 − 5 2 = t2.$

( 2 )2 ( 2 ) 2 x − 5 − 10 x − 5 − 11≤ 0 ⇔ t − 10t− 11 ≤0

Решим методом интервалов.

Найдём нули:

t2− 10t− 11= 0 D = 100+ 4⋅11= 144= 122 10± 12 t1,2 = --2--- t1 = 11 t2 = −1

$PICT$

Тогда $t∈ [−1;11].$

Сделаем обратную замену:

2 x − 5∈ [− 1;11] ⇔ {x2 − 5≥ −1 {x2− 4≥ 0 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ x − 5≤ 11 x − 16≤ 0 { (x − 2)(x+ 2)≥ 0 ⇔ (x − 4)(x+ 4)≤ 0

Решим первое неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

1.: $x− 2= 0 ⇔ x = 2.$
2.: $x+ 2= 0 ⇔ x = −2.$

$PICT$

Тогда решением первого неравенства будет $x∈ (−∞; −2]∪[2;+ ∞ ).$

Решим второе неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

1.: $x− 4= 0 ⇔ x = 4.$
2.: $x+ 4= 0 ⇔ x = −4.$

$PICT$

Тогда решением первого неравенства будет $x∈ [− 4;4].$

Вернёмся к системе:

{ { (x− 2)(x+ 2)≥ 0 ⇔ x∈ (− ∞;− 2]∪[2;+ ∞) ⇔ (x− 4)(x+ 4)≤ 0 x∈ [− 4;4] ⇔ x∈ [− 4;− 2]∪ [2;4]

Ответ:

$[−4;−2]∪[2;4]$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#45850

Решите неравенство:

4 2 x − 13x + 36 ≥ 0

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x2 = t.$ Тогда $( ) x4 = x2 2 = t2.$

x4− 13x2+ 36≥ 0 ⇔ t2− 13t+ 36≥ 0

Решим методом интервалов.

Найдём нули:

t2− 13t+ 36= 0 2 2 D = 13 − 4 ⋅36 = 25= 5 13± 5 t1,2 =--2-- t1 = 4 t2 = 9

$PICT$

Тогда $t∈ (−∞; 4]∪ [9;+ ∞).$ Сделаем обратную замену:

2 x ∈(−∞; 4]∪[9;+ ∞ ) ⇔ [x2 ≤ 4 [x2− 4≤ 0 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ x ≥ 9 x − 9≥ 0 [(x− 2)(x + 2) ≤0 ⇔ (x− 3)(x + 3) ≥0

Решим первое неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

1.: $x− 2= 0 ⇔ x = 2.$
2.: $x+ 2= 0 ⇔ x = −2.$

$PICT$

Тогда решением первого неравенства будет $x∈ [− 2;2].$

Решим второе неравенство методом интервалов.

Найдём нули:

1.: $x− 3= 0 ⇔ x = 3.$
2.: $x+ 3= 0 ⇔ x = −3.$

$PICT$

Тогда решением второго неравенства будет $x∈ (−∞; −3]∪[3;+ ∞ ).$

Вернёмся к совокупности:

[ [ (x− 2)(x + 2) ≤0 ⇔ x ∈[−2;2] (x− 3)(x + 3) ≥0 x ∈(−∞; −3]∪ [3;+∞ )

Значит, решением неравенства будет

x∈ (− ∞;− 3]∪ [− 2;2]∪ [3;+∞ )

Ответ:

$(−∞; −3]∪ [−2;2]∪[3;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#45341

Решите неравенство $− ----12-----≥ 0. x2− 2x − 15$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

x2− 2x− 15⁄= 0 D = (−2)2+ 4⋅15= 4+ 60= 64= 82

Тогда корни уравнения

x = 2+-8 = 5 и x= 2−-8 = −3 2 2

Значит, $x⁄= 5 и x⁄= − 3.$

Вернемся к решению неравенства. Чтобы дробь оказалась положительной, нужно чтобы знаменатель был отрицательным

2 x − 2x− 15< 0

Решим методом интервалов

$PICT$

Тогда ответ $(−3; 5).$

Ответ:

$(−3; 5)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#42808

Решите неравенство $(4x− 7)2 ≥ (7x − 4)2.$

Показать ответ и решение

2 2 2 2 (4x− 7) ≥(7x− 4) ⇔ (4x − 7) − (7x− 4) ≥0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

((4x− 7)− (7x − 4))((4x− 7)+ (7x − 4))≥ 0 (4x− 7− 7x+ 4)(4x − 7 +7x − 4)≥ 0 (− 3x− 3)(11x− 11)≥ 0

Домножим на $− 1:$

(3x+ 3)(11x − 11)≤ 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем нули:

1.: $3x+ 3= 0 ⇔ 3x= − 3 ⇔ x= − 1$
2.: $11x − 11 = 0 ⇔ 11x= 11 ⇔ x= 1$

$PICT$

Тогда решением неравенства будет $x ∈[−1;1].$

Ответ:

$[−1;1]$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#42502

Решите неравенство $− ----17-----≤ 0. x2− 2x − 24$

Показать ответ и решение

----17---- −x2 − 2x − 24 ≤ 0 1 x2−-2x−-24 ≥ 0

Посчитаем дискриминант знаменателя, чтобы разложить его на множители:

D = (−2)2+ 4⋅24= 4⋅25= 100 x = 2+-10 =6 или x= 2-− 10 = −4 2 2

Перепишем наше неравенство:

-----1------ (x− 6)(x + 4) ≥ 0

Воспользуемся методом интервалов, для этого найдем знак неравенства, например при $x =7 :$

-----1----- > 0 (7− 6)(7 +4)

Точки $x= −4$ и $x= 6$ выколотые, так как это нули знаменателя.

$PICT$

Таким образом, ответ $(−∞; − 4)∪(6;+∞ ).$

Ответ:

$(−∞; − 4)∪(6;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел