Описанная и вписанная окружности —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 16. Окружность

16.03 Описанная и вписанная окружности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела окружность

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57327

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $150∘,$ $AB = 26.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$ По теореме синусов:

---AB--- sin∠ACB =2R 26 sin150∘ =2R 26 -1 =2R ⇒ R = 26 2

Ответ: 26

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#57248

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.

Так как треугольник равносторонний, то каждая биссектриса являeтся медианой и высотой. Значит, точка пересечения биссектрис в равностороннем треугольнике — точка пересечения медиан и высот.

Обозначим точку пересечения биссектрис, медиан и высот за $O, AH$ — высота, биссектриса и медиана.

$PIC$

По свойству медиан треугольника медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1,$ считая от вершины. Значит,

AO 2 OH- = 1

$OH$ — радиус, поэтому $OH = r,$ $AO = 2OH = 2r.$

Найдем $AH :$

AH = AO +OH = 2r+ r = 3r = 3⋅6= 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#48496

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 16. Найдите высоту этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ — равносторонний, то все углы по $60∘.$ Пусть $R$ — радиус описанной окружности. По теореме синусов

AB ∘ √3 √- sin∠BCA--= 2R ⇒ AB = 2R ⋅sin 60 =2 ⋅16⋅-2-= 16 3

Проведём высоту $BH$ треугольника $ABC.$ В треугольнике $BCH$ $BH sin∠BCH = BC-.$ Тогда

∘ √- √3 BH = BC sin60 = 16 3 ⋅-2-= 8⋅3= 24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#48491

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $√- 42 2.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $ABCD$ — квадрат. $∠ADC$ — вписанный и равен $90∘.$ Тогда $AC$ — диаметр. По условию радиус окружности, описанной около квадрата, равен $√ - 42 2.$ Значит,

AC = 2 ⋅42√2-= 84√2

Рассмотрим треугольник $ACD.$ Пусть $AD = x.$ Так как все стороны квадрата равны, то $CD = AD = x.$ По теореме Пифагора

AC2 = CD2 + AD2 = x2+ x2 = 2x2 ⇒ ∘ ---- ∘ (--√-)- AC2- -84-2-2 ⇒ x= 2 = 2 =84

Докажем, что радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны.

Пусть точка $O$ — центр вписанной в квадрат окружности, точка $K$ — точка касания окружности со стороной $BC,$ точка $L$ — точка касания окружности со стороной $AD.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ BC, OL ⊥ AD.$ $BC ∥AD,$ значит, $OK ⊥ AD.$ Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, тогда точки $K, O, L$ лежат на одной прямой.

$CD ⊥ AD, KL ⊥ AD,$ значит, $KL ∥ CD.$ Тогда $KCDL$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $KL = CD.$ $OK = OL$ как радиусы, значит,

OK =OL = CD-= 84 = 42 2 2

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#42451

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 7 2.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $√- r = 7 2$ . Требуется найти $R.$ Знаем, что $r$ равен половине стороны квадрата, следовательно, сторона квадрата равна $√- 14 2$ . Радиус $R$ описанной около квадрата окружности равен половине диагонали квадрата и, так как диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на $√- 2$ , имеем $1( √- √-) R = 2 14 2 ⋅ 2 = 14$ .