а) Пусть дана пирамида , — точка пересечения диагоналей основания . По свойству правильной пирамиды — ее высота, следовательно, и высота конуса. Пусть — центр сферы, вписанной в конус, следовательно, лежащий на . Тогда — радиус этой сферы.

Окружность основания конуса касается стороны в ее середине. Назовем эту точку касания . Тогда , — радиус основания конуса. Рассмотрим . Проведем . Так как — проекция на плоскость и , то по ТТП и . Следовательно, перпендикулярна двум прямым и из плоскости , следовательно, . Значит, — точка касания сферы с гранью , лежащая на . А так как — середина , то по определению — апофема грани . Для других граней пирамиды доказательство аналогично, так как пирамида правильная.

Чтд.

Заметим, что — образующая конуса и — одна из точек касания сферы с боковой поверхностью конуса.

б) Пусть сторона основания равна . (так как — средняя линия в ).

Прямоугольные по острому углу ( — общий), следовательно,

Следовательно,