18. Задачи с параметром —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 18. Задачи с параметром

18.01 Задачи с параметром

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73004

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( { x2+ y2 = |1,6a| ( 2 y = ax− a

имеет ровно два различных решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Система имеет два решения, если уравнение

x2+ (ax − a2)2 = |1,6a|

имеет два решения. Преобразуем это уравнение:

(1 +a2)x2− 2a3x + (a4− 1,6|a|)= 0

Его дискриминант должен быть больше нуля:

D = − 4(a4− 1,6a2|a|− 1,6|a|)> 0 ⇔ a4− 1,6a2|a|− 1,6|a|< 0

Пусть $b =|a|≥ 0,$ тогда неравенство примет вид

4 3 b − 1,6b − 1,6b < 0

Рассмотрим случай $b =0.$ Тогда $D = 0.$ Следовательно, этот случай нам не подходит. Значит, $b >0.$ Тогда можно разделить обе части неравенства на $b >0$ и получим

b3− 1,6b2− 1,6< 0

Рассмотрим функцию $3 2 f(b)= b − 1,6b − 1,6.$ Найдем ее производную:

16 f ′(b) = b(3b− 3,2) ⇒ f′ = 0 ⇔ b =0; 15

Получаем, что производная имеет следующие знаки на промежутках, образованных ее нулями:

$01+−+f6′(b): 15$

Следовательно, так как $f(0)= − 1,6,$ а $( ) f 1165 < f(0)< 0,$ то график функции $f(b)$ выглядит схематично следующим образом:

$16 b01b50$

Следовательно, существует единственная точка $b= b0,$ в которой $f (b0)= 0,$ и тогда решением неравенства $f(b) <0$ будет промежуток $0< b< b0.$ Подбором с учетом $b0 > 1615-$ находим $b0 = 2.$ Следовательно, решением неравенства $f(b)< 0$ будут $0 < b< 2.$ То есть

0< |a|< 2 ⇔ a ∈(− 2;0)∪ (0;2)

Ответ:

$a ∈(−2;0)∪ (0;2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73005

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( |{ (|x+-4|+-|x−-4| )2 ( |y+-1|+-|y−-1|- )2 2 − 1 + 2 − 5 = 25 |( y = ax− 8a

имеет ровно два различных решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 5

Показать ответ и решение

Сделаем замену

( ||t= |x+-4|+|x−-4| { 2 ||( |y+-1|+-|y−-1|- z = 2

Графиком функции $t= t(x)$ является «корыто»:

$xtt14−14 =4t(x)$

Графиком функции $z = z(y)$ является «корыто»:

$yzz11−1 =1 z(y)$

Таким образом, имеем

( |||{− x, x< − 4 (1,0) t= 4,−4 ≤x ≤ 4 (2,0) |||( x, x> 4 (3,0)

( |||{− y, y <− 1 (0,1) z = 1,−1 ≤ y ≤ 1 (0,2) |||( y, y > 1 (0,3)

Следовательно, получаем на плоскости $xOy$ девять областей, на которые прямые $x= ±4$ и $y = ±1$ разбивают эту плоскость:

$xy(((((((((123123123,1,1,1,2,2,2,3,3,3)))))))))$

Рассмотрим первое уравнение в каждой из этих областей:

(1,3):: $x< −4,$ $y > 1.$ Тогда
$2 2 2 2 (− x− 1) +(y− 5) = 25 ⇔ (x+ 1) +(y− 5) = 25$
(2,3):: $− 4≤ x≤ 4,$ $y > 1.$ Тогда
$2 2 (4− 1) + (y− 5) = 25 ⇔ y = 1;9$
(3,3):: $x> 4,$ $y >1.$ Тогда
$2 2 (x− 1)+ (y− 5) = 25$
(1,2):: $x< −4,$ $− 1≤ y ≤ 1.$ Тогда
$2 2 (− x− 1)+ (1− 5) = 25 ⇔ x= −4;2$
(2,2):: $− 4≤ x≤ 4,$ $− 1≤ y ≤ 1.$ Тогда
$(4− 1)2+ (1− 5)2 = 25 ⇔ 25 = 25$
(3,2):: $x> 4,$ $− 1 ≤y ≤ 1.$ Тогда
$(x− 1)2+(1− 5)2 = 25 ⇔ x= − 2;4$
(1,1):: $x< −4,$ $y < −1.$ Тогда
$(−x − 1)2+ (− y− 5)2 = 25 ⇔ (x + 1)2+ (y+ 5)2 =25$
(2,1):: $− 4≤ x≤ 4,$ $y < −1.$ Тогда
$(4− 1)2+ (−y− 5)2 = 25 ⇔ y = − 9;− 1$
(3,1):: $x> 4,$ $y <− 1.$ Тогда
$(x− 1)2+ (−y − 5)2+ 25 ⇔ (x− 1)2+ (y+ 5)2 = 25$

Таким образом, график первого уравнения таков:

$xy$

Заметим, что второе уравнение исходной системы можно записать в виде

y = a(x − 8)

Следовательно, графиком этого уравнение при всех $a$ является пучок прямых, проходящих через точку $(8,0).$ Изобразим граничные положения прямой $y = a(x − 8):$

$xyIIIIIIVI$

Тогда нам подходят $a∈ (aI;aII]∪[aIII;aIV).$

I:

прямая $y = a(x− 8)$ касается части окружности $(x− 1)2+ (y − 5)2 = 25.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $ax − y − 8a = 0$ равно радиусу этой окружности:

∘ ----- |a√− 52− 8a|= 5 ⇔ 5 a2+ 1= |7a+ 5| ⇔ a = 0;− 3152 a +1

Следовательно,

aI =− 35 12

II:

прямая $y =a(x− 8)$ проходит через точку $(4;1):$

1= 4a− 8a ⇔ a = − 1 II 4

III:

прямая $y =a(x− 8)$ проходит через точку $(4;−1) :$

1 − 1= 4a− 8a ⇔ aIII = 4

IV:

прямая $y = a(x− 8)$ касается части окружности $(x− 1)2+ (y +5)2 = 25.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $ax − y − 8a = 0$ равно радиусу этой окружности:

|a+√-5−-8a|= 5 ⇔ 5∘a2-+-1= |7a − 5| ⇔ a= 0; 35 a2+ 1 12

Следовательно,

35 aIV = 12

Получаем ответ

( 35 1] [1 35) a∈ − 12;− 4 ∪ 4;12

Ответ:

$( ] [ ) a ∈ − 35;− 1 ∪ 1; 35 12 4 4 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#73006

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

∘8-−-2x−-x2+ 2+ a= a|x|

имеет ровно один корень.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

( ∘ --------- {y = √8−-2x−-x2 8− 2x − x2 =a|x|− a − 2 ⇔ ( y = a|x|− a− 2

Полученная система должна иметь единственное решение $(x;y).$

Заметим, что первое уравнение системы задает верхнюю полуокружность с центром в точке $(−1;0)$ и радиусом $R = 3:$

( {(x+ 1)2+ y2 = 9 ( y ≥ 0

Второе уравнение задает «уголок», вершина которого движется по оси $Oy$ . Ордината вершины уголка равна $y0 = −(a+ 2).$ При $a> 0$ ветви уголка направлены вверх, а $y0 <− 2;$ при $a< 0$ ветви уголка направлены вниз, а $y0 > − 2;$ при $a = 0$ уголок вырождается в горизонтальную прямую, а $y0 = − 2.$

Необходимо, чтобы уголок с полуокружностью имели ровно одну точку пересечения.

Изобразим возможные положения уголка относительно полуокружности, при которых они имеют ровно одну точку пересечения, а также граничные положения уголка.

$xyABC(((123)))$

Координаты точек $A(−4;0),$ $B(2,0),$ $√- C(0;2 2).$ Описание случаев:

(1): Уголок проходит через точку $A$
(2): Уголок проходит через точку $B$
(3): Уголок проходит через точку $C$

Также есть случай (4), когда уголок может касаться полуокружности.

Случай 1:

2 0 =4a − a − 2 ⇔ a= 3

Случай 2:

0 = 2a − a− 2 ⇔ a= 2

Тогда при $[2 ) a∈ 3;2$ уголок имеет с полуокружностью ровно одну точку пересечения.

Случай 3:

√- √- 2 2 = −a− 2 ⇔ a = −2 2 − 2

При этом $a$ уголок имеет одну точку пересечения с полуокружностью.

Случай 4. Уголок может касаться полуокружности левой ветвью или правой ветвью. Рассмотрим эти случаи по отдельности.

Левая ветвь. Тогда $x < 0.$ Уравнение левой ветви выглядит следующим образом: $ax+ y+ a+ 2= 0.$ Если она касается полуокружности, то расстояние от центра $O (− 1;0)$ полуокружности до этой ветви равно радиусу $R = 3$ полуокружности:

|−-a+-0+-a+-2| √ a2+ 1 = 3 ∘----- 3 a2+ 1 =2 a2 = − 5 9

Это уравнение не имеет решений, следовательно, этот случай невозможен.

Правая ветвь. Тогда $x > 0.$ Уравнение правой ветви выглядит следующим образом: $ax− y− a− 2= 0.$ Если она касается полуокружности, то расстояние от центра $O (− 1;0)$ полуокружности до этой ветви равно радиусу $R = 3$ полуокружности:

|−-a√+-0−-a−-2|= 3 a2+ 1 ∘----- 3 a2+ 1 =2|a+ 1| 5a2− 8a +5 = 0

Это уравнение не имеет решений, так как дискриминант отрицателен, следовательно, этот случай невозможен.

Значит, исходное уравнение имеет ровно один корень при

√ - [ 2 ) a∈ {−2 2− 2}∪ 3;2 .

Ответ:

$[ ) a ∈{− 2− 2√2}∪ 2;2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#44975

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(a− x)2+ 4a+ 1= (2x + 1)2− 8|x|

имеет ровно четыре различных решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

3x2+ (4 + 2a)x− 8|x|− (a2+ 4a)= 0 ⌊ ⌈y1 =3x2 +(2a+ 12)x − (a2+ 4a)= 0,x< 0 y2 =3x2 +(2a− 4)x − (a2+ 4a)= 0, x≥ 0

График полученной совокупности представляет собой объединение части параболы $y = y1,$ соответствующей $x < 0,$ и части параболы $y = y2,$ соответствующей $x≥ 0.$ Следовательно, может получиться одна из четырех картинок:

$рис. 1$ $рис. 2$ $рис. 3$ $рис. 4$

Где бы ни находилась ось абсцисс на рис. 1, рис. 2 и рис. 3, график будет иметь максимум две точки пересечения с этой осью. Следовательно, исходное уравнение будет иметь максимум два корня. Нам подходит только рис. 4. :

$пп0xxррввяя..мм 2 1ааяя 21$

Этот рисунок задается следующим условием:

xв.1 < 0< xв.2

Ось абсцисс должна находиться в промежутке между прямой 1 и прямой 2. Это значит, что обе параболы должна пересекать ось абсцисс, поскольку тогда ось абсцисс будет находиться выше прямой 1. Кроме того, значение $y (0)= y (0) 1 2$ должно быть положительно, поскольку тогда ось абсцисс будет ниже прямой 2. Следовательно, имеем условия:

D1 > 0, D2 > 0, y1(0)> 0

В итоге получаем следующую систему:

( ||xв.1 <0 < xв.2 ||||{ D1 > 0 ||||D2 > 0 ||( y1(0) = y2(0)> 0

Отсюда получаем

( (||− 6− a< 0< 2− a ||||| a> − 6 |||| 2 |||| a< 2 {16(a+ 1) >0 ⇔ { a⁄= − 1 |||16(a+ 3)2 >0 ||| |||( 2 ||||| a⁄= − 3 − (a + 4a)> 0 |( −4 < a< 0

Тогда исходное уравнение имеет ровно четыре различных решения при

a∈ (−4;0)∖{− 3;− 1}

Ответ:

$a ∈(−4;0)∖{− 3;− 1}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Нет обоснованного перехода к полученным неравенствам	3

Верно составлена система неравенств, но решение либо неверное, либо не завершено	2

Верно сведено к исследованию графически/или аналитически взаимного расположения частей парабол	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44993

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

( ) log0,4-6x2−-13x+-5ax−-6a2−-13a-+-6- √2x-−-3a+-4 = 0

имеет единственный корень.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно системе

( {6x2− 13x+ 5ax− 6a2− 13a+ 6= 1 ( 2x − 3a +4 > 0 ( ( ) |{6x2− (13− 5a)x − 6a2+ 13a− 5 = 0 (∗) |( 3a−-4 x > 2 = x0 (∗∗)

Последняя система имеет единственное решение в одном из двух случаев:

— уравнение $(∗)$ имеет единственный корень, то есть $D = 0,$ причем этот корень больше $x0,$ то есть удовлетворяет неравенству $(∗∗);$

— уравнение $(∗)$ имеет два корня $x1$ и $x2,$ то есть $D > 0,$ причем ровно один из корней больше $x0,$ а другой соответственно $≤ x0.$

Для обоих случаев нам необходим дискриминант, следовательно, найдем его:

( ) D = (13 − 5a)2+ 4⋅6⋅ 6a2+ 13a − 5 = (13a+ 7)2

1.

$7 D = 0 ⇔ a= − 13-.$

Тогда уравнение имеет единственный корень

( 7) 13 − 5 ⋅ −13 17 x= ------12-----= 13

В этом случае $x = − 73. 0 26$

Заметим, что $17 > − 73, 13 26$ следовательно, $a= − 7- 13$ нам подходит.

2.

$D > 0 ⇔ a⁄= − 7-. 13$

Тогда уравнение имеет два корня

x1,2 = 13−-5a±-(13a+-7) 12 x = 2a-+5, x = 1−-3a 1 3 2 2

Следовательно, нам необходимо, чтобы

⌊( {x1 >x0 ||( ||(x2 ≤x0 ||⌈{x2 >x0 ( x1 ≤x0

Решим первую систему:

( ( ||{ 2a+-5 > 3a−-4 ||{ a< 22 3 2 ⇔ 5 ⇔ 5 ≤ a< 22 ||( 1−-3a ≤ 3a−-4 ||( a≥ 5 6 5 2 2 6

Тогда вторая система преобразуется в

( ||{ a≥ 22 5 ⇔ a∈ ∅ ||( a< 5 6

Следовательно, в этом случае нам подходят $[5 22) a∈ 6;-5 ,$ при этом условие $-7 a ⁄= −13$ выполнено.

Объединив все подходящие значения параметра, получим окончательно

{ -7} [5 22) a ∈ −13 ∪ 6;5

Ответ:

${ } [ ) a ∈ −-7 ∪ 5; 22 13 6 5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Случай $D = 0$ рассмотрен неверно, из-за чего ответ отличается от верного невключением $7 a = −13$	3

Верно рассмотрен случай $D =0,$ а при рассмотрении $D > 0$ либо есть ошибка, либо решение не завершено	2
ИЛИ
рассмотрен верно только случай $D = 0$

Уравнение сведено к рассмотрению квадратного уравнения с учётом допустимых значений и рассмотрен случай $D =0,$ при этом допускается, что значение параметра $a$ могло быть не найдено или найдено не верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#44994

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

( { y2− x = 4− 2a ( 4 2 2 y +x = a − 3a +4

имеет ровно два различных решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= y2,$ $p= −x.$ Тогда система примет вид

( { t+p = 4− 2a ( 2 2 2 (∗) t+ p = a − 3a+ 4

Заметим, что числу $t< 0$ не соответствует ни одного $y;$ числу $t= 0$ соответствует ровно один $y = 0;$ числу $t> 0$ соответствует ровно два $y.$ Также заметим, что каждому $p ∈ℝ$ соответствует ровно один $x.$ Следовательно, исходная система будет иметь ровно два решения, если новая система будет иметь решения, причем ровно одно из них имеет вид $(t0;p0)$ с $t0 > 0,$ а у остальных решений координата $t$ отрицательна.

Так как $t2+ p2 = (t+ p)2− 2tp,$ то из системы $(∗)$ получаем, что

2 (4− 2a)2− 2tp= a2− 3a+ 4 ⇔ tp = 3a-−-13a-+12- 2

Следовательно, систему $(∗)$ можно переписать в виде

(| { t+p = 4− 2a |( tp = 3a2-− 13a+-12 (∗∗) 2

Тогда по обратной теореме Виета получаем, что числа $t$ и $p$ являются корнями квадратного уравнения

2 2 3a2−-13a+-12 α − (t+p)α +tp= 0 ⇒ α − (4− 2a)α+ 2 = 0 (∗ ∗∗)

Следовательно, система $(∗∗)$ имеет решения, если дискриминант полученного квадратного уравнения неотрицателен. Найдем этот дискриминант:

D = (4− 2a)2− 2(3a2− 13a+ 12) =− 2(a2 − 5a +4)

1.

$D = 0 ⇔ a= 1;4.$ Тогда система $(∗∗)$ имеет одно решение $(t0;p0)$ , причем

4 − 2a t0 = p0 =-2-- = 2− a

Следовательно, при $a =1$ получаем $t0 = p0 = 1.$ Этот случай нам подходит.

При $a= 4$ получаем $t0 =p0 =− 2.$ Этот случай нам не подходит.

2.

$D > 0 ⇔ 1< a< 4.$ Следовательно, система $(∗∗)$ имеет два решения $(t1;p1)$ и $(t2;p2)= (p1;t1)$ (решения симметричны в силу симметричности системы $(∗∗)$ ). Нам нужно, чтобы $t1 > 0,$ $t2 =p1 <0$ . То есть $t1p1 < 0,$ то есть произведение корней квадратного уравнения $(∗ ∗∗)$ должно быть отрицательно:

2 3a-−-13a-+12-< 0 ⇔ 4 < a< 3 2 3

Эти значения параметра удовлетворяют условию $1 < a< 4.$

Объединив полученные в обоих случаях значения параметра, получаем ответ $(4 ) a ∈{1}∪ 3 ;3 .$

Ответ:

$( ) a ∈{1}∪ 4 ;3 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45027

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых оба уравнения

∘ -------------- a+ x = |x| и a√2 + x= 2a√2x − x2+ 12 2

имеют ровно по 2 различных корня, и строго между корнями каждого из уравнений лежит корень другого уравнения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

1 способ. Графический. В системе координат $xOa$

Преобразуем первое и второе уравнение. Тогда первое уравнение примет вид:

x a = |x|− 2,

а второе уравнение примет вид

x2+ a2 = 6, при a ≥ −√x 2

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множества $U1$ и $U2$ решений первого и второго уравнений соответственно. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит одному из множеств $U1$ или $U2,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений соответствующего уравнения.

Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно четыре точки вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ ℝ,$ принадлежат множеству решений $S = U1 ∪U2,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Причем выполнены следующие требования:

$∙$ две точки принадлежат множеству $U1,$ то есть графику функции

x a= |x|− 2 (⋆)

(назовем их — «точки уголка»);

$∙$ две точки принадлежат множеству $U2,$ то есть графику, задаваемому системой

( |{ x2+ a2 = 6, x (⋆⋆) |( a≥ − √-, 2

(назовем их — «точки дуги»);

$∙$ точки уголка и точки дуги перемежаются и не совпадают.

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ пересекается со множеством $S$ по четырем точкам $(x1;a0),$ $(x2,a0),$ $(x3,a0),$ $(x4;a0),$ где $x1 <x2 < x3 < x4,$ причем точки $(x1;a0)$ и $(x3;a0)$ принадлежат $U1,$ а точки $(x2;a0)$ и $(x4;a0)$ — $U2,$ или наоборот.

Преобразуем уравнение $(⋆):$

( ||{ x, x ≥ 0 (луч pright) a= 2 ||( − 3x, x< 0 (луч pleft) 2

Таким образом, графиком уравнения $(⋆)$ является ломаная $MON,$ $M ∈pleft,$ $O(0;0),$ $N ∈pright.$

Графиком системы $(⋆⋆)$ является дуга $AC$ окружности с центром в точке $O(0;0)$ радиуса $√- R = 6,$ включая точки $A$ и $C$ (если быть точнее, дуга $AC$ является полуокружностью), находящаяся правее прямой $a = −√x-. 2$ Точки $A,C$ — точки пересечения прямой $a= − x√-- 2$ с окружностью $x2+ a2 = 6.$

Изобразим множества $U1$ и $U2$ на координатной плоскости:

$xaaaMNOBA==C aaAB$

Таким образом, видим, что нам подходят все горизонтальные прямые, находящиеся в закрашенной области: между прямой $a= aA,$ проходящей через точку $A,$ и прямой $a =aB,$ проходящей через точку $B,$ включая положение прямой $a= a . A$ То есть ответом будут $a ∈[a ;a ). A B$ Дейсвительно, если упорядочить абсциссы точек пересечения такой горизонтальной прямой со множеством $S,$ то мы получим четыре точки $x1,x2,x3,x4,$ причем точки с абсциссами $x1$ и $x3$ лежат на дуге $AC,$ а точки с абсциссами $x2$ и $x4$ — на ломаной $MON.$

Найдем ординаты точек $A$ и $B.$

$A$ — точка пересечения окружности $x2+ a2 = 6$ с прямой $a= −√x-, 2$ находящаяся во II четверти, то есть имеющая отрицательную абсциссу. Значит, ее координаты ищутся из системы:

( 2 2 |||| x + a = 6 ( { a= − x√-- ⇔ { x= −2 ||| 2 ( a= √2 |( x< 0

Значит, $aA = √2.$

$B$ — точка пересечения окружности $2 2 x + a = 6$ с прямой $3x- a= − 2 ,$ находящаяся во II четверти, то есть имеющая отрицательную абсциссу. Значит, ее кординаты ищутся из системы:

( ( ∘ --- |||| x2+ a2 = 6 ||| -6 { 3x { x= −2 13 ||| a= − 2 ⇔ ||| ∘-6- |( x< 0 ( a= 3 13

Значит, $∘ --- 6- aB = 3 13.$

Тогда ответ

[√ - ∘ -6) a∈ 2;3 13 .

2 способ. Алгебраический

Рассмотрим первое уравнение. Определим, при каких $a$ оно имеет корни и какие это корни.

(| (| 2a+ x≥ 0 ||{ 2⌊a+ x≥ 0 ||{ ⌊ 2a+ x= 2|x| ⇔ | ⌈2a+ x = 2x ⇔ | ⌈x = 2a ||( 2a+ x = −2x ||( x = − 2a 3

Полученная система имеет два решения, если корни совокупности удовлетворяют условию $2a + x≥ 0$ и различны:

( |||| 2a+ 2a≥ 0 |{ 2 || 2a− 3a ≥ 0 ⇔ a> 0 |||( 2a⁄= − 2a 3

Таким образом, при $a> 0$ первое уравнение имеет два различных корня.

Рассмотрим второе уравнение.

∘ -------------- ( √ - √- 2 { x2− 6+ a2 = 0 a 2+ x= 2a 2x − x +12 ⇔ ( x+ a√2 ≥ 0

Полученная система имеет два различных корня, если парабола $y = x2− 6+ a2$ пересекает ось абсцисс в двух точках, причем обе точки удовлетворяют условию $√- x ≥ −a 2.$ Следовательно, дискриминант уравнения $x2− 6+ a2 = 0$ должен быть положителен, а число $√- − a 2$ должно располагаться в I или II месте, то есть левее меньшего из корней или совпадать с ним. Если $x(верш)$ — абсцисса вершины этой параболы, то нужная нам ситуация задается следующей системой:

( ( |||D = 4(6− a2)> 0 |||a2 < 6 { √ - { √- √ - √ - ||x(верш√) > −a 2 ⇔ ||0 > −a 2 ⇔ 2≤ a< 6 |(y(−a 2)≥ 0 |(2a2− 6+ a2 ≥ 0

Следовательно, при $√2≤ a <√6-$ второе уравнение имеет два различных корня.

Значит, при

({ a> 0 √ - √- √- √ - ⇔ 2≤ a< 6 ( 2≤ a < 6

оба уравнения имеют по два различных корня.

Далее будем вести рассуждения при $0< a < √6$ (чтобы существовали корни обоих уравнений).

Корни первого уравнения найдены, корни второго уравнения ищутся из $x2 =6 − a2,$ то есть это числа $√ ----- x21 = − 6− a2$ и $√ ----- x22 = 6− a2.$ Заметим, что $x21 < 0< x22.$ Пусть $x11 = − 2a, 3$ $x12 = 2a$ — корни второго уравнения. Заметим также, что $x11 <0 < x12$ при $a > 0$ .

Определим, при каких $a$ корни перемежаются (между корнями каждого из уравнений лежит корень другого уравнения). Возможны две ситуации.

1.

$x11 <x21 < x12 < x22 :$

$PICT$

Следовательно,

( ( √----- ( √----- {x21 > x11 {− 6 − a2 > − 2a { 6 − a2 < 2a (x > x ⇒ (√ ----2 3 ⇔ ( √----2 3 22 12 6− a > 2a 6 − a >2a

Так как $a> 0,$ то $2a > 2a, 3$ следовательно, неравенство $2a< √6-−-a2 < 2 3$ не имеет решений.

2.

$x <x < x < x : 21 11 22 12$

$PICT$

Следовательно,

( ( √ ----- 2 { x21 < x11 { − 6− a2 < −3 a ( x22 < x12 ⇒ ( √6-− a2 < 2a ⇔ ( ( { √6-− a2 > 2a {6 − a2 > 4a2 ( √----2 3 ⇒ ( 2 92 ⇔ ( 6 − a <2a 6 − a < 4a |{ a2 < 54 ∘ -- ∘ --- 13 ⇒ 6 < a< 3 6- |( a2 > 6 5 13 5

(решили систему при $a > 0$ ).

Пересекая полученные значения с $√ - √ - 2≤ a< 6,$ получаем итоговый ответ

[√ - ∘ -6) a∈ 2;3 13 .

Ответ:

$[ ∘ --) √ - -6 a ∈ 2;3 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#45069

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

∘10x2-+x-−-24⋅log ((x − 3)(a+ 5)+ 14) =0 2

имеет ровно два различных корня.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно совокупности

( ⌊{ 10x2 +x − 24 = 0 ||( ||( (x − 3)(a+ 5)+ 14 > 0 ||{ (x − 3)(a+ 5)+ 14 = 1 ⌈( 2 10x +x − 24 ≥ 0 ⌊({ | (2x − 3)(5x + 8) = 0 (1) ||( (x − 3)(a+ 5)+ 14 > 0 (1′) |||({ ⌈ (x − 3)(a+ 5)= −13 (2) ( (2x − 3)(5x + 8) ≥0 (2′)

Корни уравнения (1) — числа

x1 = 3, x2 = − 8 2 5

Решим уравнение (2). Оно линейное.

При $a= −5$ уравнение (2) примет вид

0 ⋅x= −13 ⇔ x ∈ ∅

Следовательно, совокупность, а значит и исходное уравнение, может иметь максимум два корня — это $x1$ и $x2.$ Для того, чтобы оба этих числа являлись решениями совокупности, нужно, чтобы они удовлетворяли неравенству (1’), которое имеет вид $14> 0.$ То есть они ему удовлетворяют. Следовательно, $a = −5$ нам подходит и является первой частью ответа.

Пусть $a ⁄= −5.$ Не будем это повторять каждый раз в наших дальнейших рассуждениях, просто в итоговых значениях $a$ это учтем.

Уравнение (2) имеет единственный корень

13 3a+ 2 x= 3− a-+-5 =-a+-5 = x3

Получаем, что числа $x1,$ $x2$ и $x3$ — «потенциальные» решения совокупности, а значит, и исходного уравнения. При этом $x1$ и $x2$ — решения, если они удовлетворяют (1’), $x3$ — решение, если удовлетворяет (2’).

Определим $a,$ при которых каждое из чисел $x1,x2,x3$ удовлетворяет «своему» неравенству. Будем такое число называть хорошим. В противном случае будем называть число плохим. То есть определим $a,$ при которых каждое число является хорошим или плохим.

Число $x 1$ — хорошее, если выполнено неравенство

( 3 ) 13 2 − 3 (a +5)+ 14> 0 ⇔ a < 3

Значит, $x1$ — плохое, если

a ≥ 13 3

Число $x2$ — хорошее, если

( 8 ) 45 − 5 − 3 (a +5)+ 14> 0 ⇔ a < −23

Значит, $x2$ — плохое, если

a≥ − 45- 23

Число $x 3$ — хорошее, если

( )( ) ⌊ 50 2 ⋅ 3a-+-2− 3 5⋅ 3a+-2+ 8 ≥ 0 ⇔ ||a ≤ −23 a+ 5 a + 5 ⌈ 11 a ≥ 3

Значит, $x3$ — плохое, если

50 11 − 23 <a < 3-

В таком случае, если числа различны, то нам подходит ситуация, когда из трех чисел ровно два хороших, а третье плохое.

Рассмотрим отдельно случаи, когда какие-то два числа совпадают. При этом все три совпасть не могут, так как $x1 ⁄= x2.$

1.: Пусть $11 x1 =x3 ⇔ a= 3-$
Тогда $x = x 1 3$ — хорошие, $x 2$ — плохое. Следовательно, этот случай нам не подходит.
2.: Пусть $50 x2 = x3 ⇔ a= − 23$
Тогда $x2 = x3$ — хорошие и $x1$ — хорошее. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня, значит, $a =− 50 23$ — вторая часть ответа.

Далее пусть все три числа различны, то есть

a ⁄= − 50; 11 23 3

Составим для удобства табличку:

|---|----Х-орош-ее-----|--П-лохое---| |---|---------13------|------13---| |x1-|-----a-<-3-------|---a≥-3----| |x2-|-----a<-−-4523------|--a≥-−-4523---| -x3--a<-−-5203 или-a>-113-− 5203-<a-<-131

1.: Ситуация «хорошее, хорошее, плохое»:

$PICT$
2.: Ситуация «хорошее, плохое, хорошее»:

$PICT$
3.: Ситуация «плохое, хорошее, хорошее»:

$PICT$

Следовательно, третья часть ответа:

( 50 45) ( 11 13 ) a ∈ −23;− 23 ∪ 3-;3-

Объединив все подходящие значения параметра, получаем окончательно

[ ) ( ) a∈ {−5}∪ − 50;− 45 ∪ 11; 13 23 23 3 3

Ответ:

$[ ) ( ) a ∈{− 5} ∪ − 50;− 45 ∪ 11; 13 23 23 3 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличающееся от искомого конечным числом точек	3

Верно найдены граничные значение параметра, но переход к ответу неверный	2
ИЛИ
допущена вычислительная ошибка

Верно найдены корни уравнения с учётом допустимых значений	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#45070

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

|x2− a2|= |x+ a|⋅∘x2-− 4ax-+5a

имеет ровно один корень.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 21

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

∘ ----------- |x+ a|⋅|x − a|− |x+ a|⋅ x2− 4ax+ 5a= 0 ⇔ ⌊( |{ |x +a|= 0 ||( x2− 4ax+ 5a≥ 0 ⇔ ⌈ √----------- |x− a|= x2− 4ax+ 5a ⌊({ x = −a || 1 |⌈( x2− 4ax+ 5a≥ 0 ⇔ x2− 2ax+ a2 = x2− 4ax+ 5a ⌊( { x1 = −a |||( 2 ⇔ ⌈ x − 4ax+ 5a≥ 0 2ax =5a − a2

1.: Пусть $a =0$ . Тогда совокупность имеет вид $⌊( { x1 = 0 |||( x2 ≥ 0 ⇔ x ∈ℝ ⌈ 0⋅x = 0$
Следовательно, этот случай нам не подходит.
2.: Пусть $a ⁄=0.$ Тогда совокупность имеет вид $⌊({ x = −a || 1 |⌈( x2− 4ax + 5a ≥ 0 x2 = 5-− a 2$
Видим, что для любого $a⁄= 0$ число $x2$ — решение совокупности, а значит, и исходного уравнения. Следовательно, для того, чтобы совокупность имела единственное решение, нужно, чтобы числа $x1$ и $x2$ совпадали или они были различны, но тогда $x1$ не удовлетворяло неравенству, находящемуся с ним в системе.
$( ⌊ 5− a ||||{ |−a = --2- ⌊ ⌈ 2 2 ⇔ ⌈a= −5 |||| a + 4a + 5a< 0 −1< a < 0 ( a⁄= 0$

Следовательно, ответ:

a∈ {−5}∪ (− 1;0).

Ответ:

$a ∈{− 5} ∪(−1;0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45077

Найдите все положительные значения параметра $a,$ при каждом из которых корни уравнения

2x x x 3a − 16 + 2⋅(4a) = 0

принадлежат отрезку $[−2;−1].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 23

Показать ответ и решение

Разделим обе части исходного уравнения на положительное при всех $x$ выражение $x 2x 16 = 4 :$

(a )2x (a)x 3⋅ 4 +2 ⋅ 4 − 1= 0 ⇔ ( (a)x )(( a)x ) 3 ⋅ 4 − 1 4 + 1 = 0 ⇔ ⌊( a)x | 4 = − 1 (не имеет реш ений) |⌈( a)x 1 ⇔ 4 = 3 ( a)x 1 4 = 3 (∗)

1.

Если $a = 1 ⇔ a= 4, 4$ то уравнение $(∗)$ примет вид $1x = 1 ⇔ x ∈∅. 3$ Следовательно, этот случай нам не подходит.

2.

Пусть $a ⁄=4.$ Тогда мы имеем показательное уравнение $(∗),$ которое имеет единственный корень

1 x= loga43

Этот корень существует, так как $a⁄= 4$ и по условию $a> 0,$ то есть удовлетворяет ОДЗ логарифма. Следовательно, этот корень должен лежать в отрезке $[−2;−1],$ значит,

( 1 ||{log a43 ≤ −1 | 1 |(log a43 ≥ −2

Применим метод рационализации для обоих неравенств:

( (a ) (1 4) ( (a− 4)(a − 12) ||{ 4 − 1 3 − a ≤0 ||{ -----a------≤ 0 | ( ) ( ) ⇔ | 2 |( a − 1 1 − 162 ≥ 0 |( (a−-4)(a2−-3⋅16)≥ 0 4 3 a a

Решим первое неравенство:

$a041−+−+2$

Таким образом, решением первого неравенства будут $a∈ (− ∞;0)∪ [4;12].$

Решим второе неравенство:

$√√ - a−044−++−+43 3$

Таким образом, его решением будут $[ √- ) [ √- ) a∈ −4 3;0 ∪ (0;4]∪ 4 3;+∞ .$

Пересечем решения, учитывая, что $a> 0$ и $a ⁄=4.$ Получим $√ - a ∈[4 3;12].$

Ответ:

$a ∈[4√3;12]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай $a =4$	3

Верно наложены условия принадлежности корня данному отрезку, но граничные точки найдены неверно из-за вычислительной ошибки	2
ИЛИ
ошибка в решении одного из неравенств

Верно найден корень данного уравнения	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#45202

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых неравенство

−1 ≤ sinx(a− cos2x) ≤1

верно при всех действительных значениях $x.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 25

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= sinx,$ тогда неравенство примет вид

−1 ≤ 2t3+ (a− 1)t ≤1

Рассмотрим функцию $f(t)= 2t3+ (a− 1)t.$ Тогда неравенство имеет вид

−1 ≤f(t)≤ 1

и необходимо, чтобы оно было выполнено при всех $t∈ [− 1;1].$

Исследуем функцию $f(t).$ Ее производная равна

′ 2 f (t)= 6t + (a − 1)

В зависимости от знака выражения $a− 1$ производная имеет один нуль, два нуля или не имеет нулей. Следовательно, рассмотрим эти случаи по отдельности.

1.

Пусть $1− a >0 ⇔ a< 1.$ Тогда

′ 2 ∘-1−-a f(t) =0 ⇒ 6t= 1 − a ⇔ t−,+ = ± -6--

Определим знаки производной на промежутках, образованных нулями производной и нарисуем схематично график функции $f(t):$

$PICT$

Мы не знаем, как располагается отрезок $[−1;1]$ относительно точек $t−$ и $t+$ . Следовательно, рассмотрим два случая.

1.1.

$t+ ≥ 1 ⇔ a≤ −5.$ Тогда в силу симметрии точек $t−$ и $t+$ относительно $t= 0,$ ровно как и точек $− 1$ и $1,$ имеем $t− ≤ − 1.$ Следовательно, схематично график функции $f(t)$ выглядит так:

$PICT$

Следовательно, неравенство $− 1≤ f(t)≤ 1$ будет выполнено для всех $t∈[−1;1],$ если

({ ({ f(− 1) ≤1 ⇔ − 2− a+ 1≤ 1 ⇔ a≥ − 2 (f(1)≥ −1 (2+ a− 1 ≥− 1

В пересечении с $a≤ − 5$ получаем пустое множество. Следовательно, в этом случае подходящих значений параметра нет.

1.2.

$t+ < 1 ⇔ a> −5.$ Тогда $t− > − 1.$ Схематично график функции $f(t)$ выглядит так:

$PICT$

Следовательно, неравенство $− 1≤ f(t)≤ 1$ будет выполнено для всех $t∈[−1;1],$ если

( ∘ ----- ( ) ( ||||− 1-− a ⋅ 2⋅ 1−-a+ a− 1 ≤ 1 ||| f(t− )≤ 1 |||| 6 6 |||{ |||{1+ a ≤1 f(1)≤ 1 ⇔ ∘ ----- ( ) ⇔ |||| f(t+ )≥ −1 |||| 1−-a ⋅ 2⋅ 1−-a + a− 1 ≥ − 1 ||( f(−1)≥ −1 ||||| 6 6 ||( ( ∘ -----( −1)− a ≥ −1 ||{ 1−-a ⋅ 2⋅ 1−-a + a− 1 ≥ −1 6 6 ⇔ ||( ( a∘≤-0--- ||{ 1−-a 2 6 ⋅3(a− 1) ≥− 1 ||( a≤ 0

Сделаем замену $∘ ----- 1−-a = b, 6$ тогда первое неравенство примет вид

3 3∘-1 −4b ≥ −1 ⇔ b ≤ 4

Сделаем обратную замену:

∘----- ∘ -- 1−-a 31 -3- 6 ≤ 4 ⇔ a≥ 1− √32-

Пересекая с $− 5< a ≤0,$ получаем подходящие значения параметра $a$ :

[ -3- ] a ∈ 1 − 3√2;0 .

2.

Пусть $a ≥1,$ тогда $f ′(t) ≥0,$ следовательно, график функции $f(t)$ схематично выглядит так:

$PICT$

Следовательно, неравенство $− 1 ≤f(t)≤ 1$ будет выполнено для всех $t∈[−1;1],$ если

( ( { f(− 1)≥ −1 { −2+ 1− a ≥ −1 ( ⇔ ( ⇔ a≤ 0 f(1) ≤1 2+ a− 1≤ 1

Пересекая с $a≥ 1,$ получаем $a ∈ ∅.$

Следовательно, ответ:

[ -3- ] a ∈ 1 − 3√2;0 .

Ответ:

$[ ] a ∈ 1 − 3√-;0 32$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#45210

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( |{ (x − 2a+ 2)2+ (y+ a− 2)2 = a+ 5 2 |( x+ y = 1 − a

имеет единственное решение.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 27

Показать ответ и решение

Первое уравнение: при $a + 5> 0 2$ задает окружность с центром в точке $O (2a − 2;2− a)$ и радиуса $∘----5 R = a + 2;$ при $5 a + 2 = 0$ задает точку $O;$ при $5 a+ 2 <0$ задает пустое множество. Следовательно, так как система должна иметь решения, нам не нужно рассматривать только последний случай.

1)

Пусть $a= − 52.$ Тогда $O (−7; 92).$ Проверим, удовлетворяют ли координаты точки $O$ второму уравнению:

9 5 5 7 −7+ 2 = 1+ 2 ⇔ − 2 = 2

Получили неверное равенство, следовательно, при $a= − 52$ система не имеет решений.

2)

$a> − 5. 2$ Про первое уравнение мы уже сказали выше. Второе уравнение задает прямую $l.$

Окружность и прямая имеет единственную точку пересечения, когда прямая касается окружности. Значит, расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.

$OlR :(2ax−+ 2y;+2−a−a)1= 0$

Воспользуемся формулой расстояния от точки $O (x0;y0)$ до прямой $l :$ $Ax+ By + C = 0 :$

ρ(O, l)= |Ax0√+-By0-+C-| A2 + B2

Подставим наши значения:

∘ ----- |2a−-2+√-2−-a+-a−-1|= a+ 5 ⇔ |2a− 1|= √2a+-5 ⇔ a = − 1;2 12 +12 2 2

Оба значения удовлетворяют условию $a > − 5. 2$

Следовательно, ${ } 1 a∈ − 2;2 .$

Ответ:

${ } a ∈ − 1;2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3
ИЛИ
нет рассмотрения случая $a= − 5 2$

Получено верно одно из двух значений параметра $a$	2
ИЛИ
значения параметра найдены верно, но нет обоснования их нахождения на основе взаимного расположения графиков	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#45211

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых среди корней уравнения

2 3x − 24x+ 64= a|x− 3|

будет ровно три положительных.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

Рассмотрим две функции:

f(x)= 3x2− 24x +64 =3(x− 4)2+ 16 g(x) =a|x− 3|

График $y = f(x)$ — парабола, вершина которой находится в точке $(4;16).$ График $y =g(x)$ — уголок (при $a⁄= 0$ ), вершина которого находится в точке $(3;0),$ левая ветвь задается уравнением $gleft = a(−x + 3),$ $x ≤ 3,$ правая ветвь задается уравнением $gright =a(x− 3),$ $x≥ 3,$ или прямая $y = 0$ (при $a = 0$ ). При $a < 0$ ветви уголка направлены вниз, при $a> 0$ — вверх. Так как график $f(x)$ находится в верхней полуплоскости, то при $a ≤ 0$ графики $f$ и $g$ не имеют общих точек, следовательно, этот случай нам не подходит.

Пусть $a > 0.$ Так как график параболы симметричен относительно прямой $x = 4,$ а график уголка — относительно прямой $x= 3,$ то при изменении $a$ от $0$ до $+∞$ сначала уголок правой ветвью коснется параболы, а затем правая ветвь будет иметь две точки пересечения с параболой. Далее левая ветвь уголка коснется параболы (а правая будет иметь две точки пересечения с параболой) и затем уже и левая ветвь уголка будет иметь две точки пересечения с параболой.

Следовательно, для начала рассмотрим случай, когда уголок и парабола имеют три общие точки: левая ветвь уголка касается параболы. Если абсцисса точки касания будет положительной, то этот случай нам подходит.

$xy43точка касания −→$

Запишем условия касания $gleft$ и $f :$

( 2 ( 2 {− a(x − 3) =3x − 24x+ 64 ⇔ { 3x − 18x +8 = 0 (− a= 6x− 24 ( a= 24− 6x

Корнями первого уравнения являются $√-- x= 9±357.$ Нам подходит $√ -- x = 9−-357,$ так как именно при нем мы получаем положительный $a= 6+ 2√57.$ Заметим, что абсцисса точки касания $9−√57- x= 3 >0,$ следовательно, как говорилось выше, этот случай нам подходит.

Пусть $√-- a > 6+ 2 57.$ Тогда левая ветвь пересекает параболу в двух точках, одна из которых имеет положительную абсциссу. Следовательно, необходимо, чтобы абсцисса второй точки была неположительной. Тогда произведение абсцисс этих точек должно быть неположительно. Запишем уравнение, из которого могут быть найдены абсциссы точек пересечения левой ветви уголка и параболы:

2 2 −a(x− 3)= 3x − 24x +64 ⇔ 3x − (24− a)x+ 64− 3a = 0

Произведение корней должно быть неположительно, значит,

64− 3a 64 --3---≤ 0 ⇔ a ≥ 3-

Пересечем полученные значения с $√-- a > 6+ 2 57.$ Для этого сравним числа:

64 √-- 3 ∨ 6+ 2 57 √-- 23∨ 3 57 529∨ 513

Следовательно, $64 √-- -3 > 6+ 2 57.$ Значит, после пересечения получаем $a ≥ 64. 3$

Тогда исходное уравнение имеет ровно три положительных корня при

√-- [64 ) a∈ {6+ 2 57}∪ 3 ;+∞

Ответ:

$[ ) a ∈{6+ 2√57} ∪ 64;+ ∞ 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены все значения $a,$ но некоторые граничные точки включены/исключены неверно	3

С помощью верного рассуждения получены не все значения $a$	2

Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#45212

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых среди корней уравнения

2 x − 10x + 35 = a|x− 6|

ровно два положительных.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Рассмотрим две функции:

$pict$

График $y = f(x)$ — парабола, вершина которой находится в точке $(5;10).$ График $y =g(x)$ — уголок (при $a ⁄=0$ ), вершина которого находится в точке $(6;0),$ левая ветвь задается уравнением $gleft = a(−x + 6),$ $x ≤ 6,$ правая ветвь задается уравнением $gright =a(x− 6),$ $x≥ 6,$ или прямая $y = 0$ (при $a = 0$ ). При $a < 0$ ветви уголка направлены вниз, при $a> 0$ — вверх. Так как график $f(x)$ находится в верхней полуплоскости, при $a ≤0$ графики $f$ и $g$ не имеют общих точек, следовательно, этот случай нам не подходит.

Пусть $a > 0.$ В силу того, что график параболы симметричен относительно прямой $x= 5,$ а график уголка — относительно прямой $x= 6,$ при изменении $a$ от $0$ до $+ ∞$ сначала уголок левой ветвью коснется параболы, затем левая ветвь будет иметь две точки пересечения с параболой, затем правая ветвь уголка коснется параболы (а левая будет иметь две точки пересечения с параболой), и затем уже и правая ветвь уголка будет иметь две точки пересечения с параболой.

Следовательно, в теории нам могут подойти две ситуации: когда левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой, причем абсциссы обеих точек положительны, а правая не имеет общих точек с параболой; когда левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой, абсцисса одной из них положительна, а второй — неположительна, а правая ветвь касается параболы.

1)

Проверим, возможна ли первая ситуация.

$xy56$

Определим $a,$ при которых левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой. Тогда следующее квадратное уравнение должно иметь два решения при $a> 0:$

2 2 −a(x− 6)= x − 10x +35 ⇔ x − (10− a)x+ 35− 6a= 0

Следовательно, его дискриминант

( {D = (a+ 2)2− 44 > 0 ⇔ a> −2 +2√11- (a > 0

Абсцисса одной из точек всегда положительна, следовательно, обе абциссы положительны, если произведение корней этого квадратного уравнения положительно:

35- 35− 6a> 0 ⇔ a< 6

Теперь осталось проверить, имеет ли правая ветвь точки пересечения с параболой. Для этого найдем $a,$ при котором правая ветвь касается параболы (нам в любом случае это значение пригодится для проверки второй ситуации):

( ( {a(x− 6)= x2− 10x+ 35 { x2− 12x +25 = 0 (a = 2x− 10 ⇔ ( a= 2x− 10

Корни первого уравнения $x =6 ±√11.$ Нам подходит $x= 6 +√11,$ так как именно при нем мы получаем положительный $a= 2+ 2√11.$ Следовательно, при $√ -- a <2 +2 11$ правая ветвь не имеет общих точек с параболой, при $√-- a= 2+ 2 11$ — касается параболы, при $√-- a> 2+ 2 11$ — имеет две общие точки с параболой.

Значит, наша ситуация задается следующими $a :$

( √ -- |||| a> −2 +2 11 { 35 ⇔ −2+ 2√11-< a< 35 ||| a< 6 6 |( a< 2+ 2√11

Это первая часть ответа.

2)

Проверим, возможна ли вторая ситуация.

$xy56← − точка касания$

Абсцисса одной из точек пересечения левой ветви с параболой положительна, а второй — неположительна, при $a≥ 356 .$ Правая ветвь касается параболы при $√ -- a =2 +2 11.$ Следовательно,

( |{a ≥ 35 6 ⇔ a =2 +2√11- |(a = 2+ 2√11

Это вторая часть ответа.

Ответ:

$( ) a ∈ −2+ 2√11; 35 ∪{2 +2√11} 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Верно исследовано одно из двух положений	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#38374

Найдите $a$ , при которых уравнение

∘x2-−-a2-= ∘3x2−-(3a+-1)x-+-a

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1].$

Показать ответ и решение

Уравнение вида $√A-= √B-$ равносильно системе из $A = B$ и $A≥ 0.$ Таким образом, при $|x|≥ |a|,$ то есть на ОДЗ, получаем

(x − a)(x+ a)= (x − a)(3x− 1) ⇔ (x − a)(2x− 1− a)= 0

Получаем два предполагаемых решения $x1 = a,$ $a+ 1 x2 = -2--.$

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет двум требованиям: принадлежит ОДЗ и лежит в отрезке $[0;1].$ В противном случае, то есть когда не удовлетворяет хотя бы одному из этих условий, будем считать число плохим.

Таким образом, нам подходят ситуации, когда числа $x1 ⁄= x2$ и среди них ровно одно хорошее или когда $x1 = x2$ — хорошее.

1): $x1$ — хорошее, если $a∈ [0;1].$
2): $x2$ — хорошее, если $|a+ 1|≥2|a|$ и $a∈ [−1;1].$ Решим первое неравенство: $[ ] a2+ 2a+ 1≥ 4a2 ⇔ 3a2− 2a− 1≤ 0 ⇔ a∈ − 1;1 3$
Пересекая с $a∈ [− 1;1],$ получаем $[ 1 ] a ∈ − 3;1 .$

Получаем три подходящие нам ситуации:

«хорошее+плохое»:
$( {a ∈[0;1] ( [ 1 ] ⇔ a ∈∅ a ∕∈ − 3;1$
«плохое+хорошее»:
$({ a ∕∈ [0;1] [ ) [ ] ⇔ a∈ − 1;0 ( a∈ − 13;1 3$
«хорошее+хорошее» и $x1 = x2.$ Совпадают они при $a= 1,$ при котором как раз они являются хорошими.

Ответ:

$[ ) a ∈ − 1;0 ∪ {1} 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#83775

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

x2 − (x− 1)√2x-−-a= x

имеет ровно один корень.

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

x(x− 1)= (x − 1)√2x-−-a ⌊ ( | {x − 1 = 0 || (2x− a ≥0 ⌈ √----- x= 2x − a ⌊ ({x = 1 || || ((2x− a ≥0 || {(x− 1)2 = 1− a ⌈ ( x ≥ 0

При $1− a< 0 ⇔ a > 1$ уравнение из второй системы не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение, если $x = 1$ удовлетворяет условию $2x− a≥ 0,$ то есть при $a ≤2.$ Следовательно, при $a ∈(1;2]$ исходное уравнение имеет единственное решение.

При $a= 1$ уравнение из второй системы имеет единственный корень $x =1,$ совпадающий с корнем из первой системы, который удовлетворяет условию $2x − a ≥ 0$ и $x≥ 0.$ Следовательно, это значение параметра нам также подходит.

Пусть далее $a < 1.$ Тогда уравнение из первой системы удовлетворяет условию $2x − a ≥ 0,$ уравнение из второй системы имеет два различных корня $√---- x = 1± 1− a,$ каждый из которых не должен являться корнем исходного уравнения, следовательно, не должен удовлетворять условию $x ≥0.$ Но $---- 1 +√ 1− a> 1,$ следовательно, удовлетворяет условию $x ≥ 0.$ Значит. исходное уравнение уже имеет как минимум два корня. Следовательно, $a< 1$ нам не подходит.

Таким образом, ответ

a∈ [1;2]

Ответ:

$a ∈[1;2]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#64212

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ (x2 − 5x +3 − y) ⋅√x-−-y+-3= 0 y = 3x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

([ 2 |||{ y = x − 5x+ 3 y = x+ 3 |||(y ≤x + 3 y =3x +a

Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ лежащих либо на части параболы $y = x2− 5x+ 3,$ лежащей ниже прямой $y =x + 3,$ либо на прямой $y = x+ 3.$

Необходимо найти те $a,$ при которых прямая $y = 3x + a$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

Найдем точки пересечения параболы $y = x2− 5x+ 3$ и прямой $y = x+ 3:$

2 x − 5x +3 = x+ 3 ⇔ x= 0;6

Получаем точки $A(0;3)$ и $B (6;9).$

Изобразим граничные положения прямой $y = 3x+ a:$

$xyyy139016AB(1(2(3 = =))) xx2+−35x+ 3$

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 2 и 3.

п. (1): Прямая $y = 3x+ a$ касается параболы $y = x2− 5x+ 3,$ если уравнение $x2 − 5x +3 = 3x + a ⇔ x2− 8x+ 3− a= 0$
имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант
$D = 52+ 4a= 0 ⇔ a = −13$
п. (2): Прямая $y = 3x+ a$ проходит через точку $B(6;9) :$ $9 =18 +a ⇔ a= −9$
п. (3): Прямая $y = 3x+ a$ проходит через точку $A(0;3):$ $a =3$

Следовательно, ответ

a∈ [− 9;3)∪ {−13}

Способ 2. Алгебраический

Подставим $y = 3x + a$ в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно $x$ должна иметь 2 решения:

( ⌊ ||{ ⌈x2− 8x+ 3− a= 0 x= x1 = 3−-a ||( 2 x≤ x1

Нам подходят две ситуации: когда первое уравнение имеет единственный корень $x0 <x1,$ и когда первое уравнение имеет два корня, причем ровно один из них меньше $x1$ (а второй $≥x1$ ).

1.: Пусть первое уравнение имеет единственный корень, меньший $x1.$ Это задается следующими условиями: ${D = 4(13+ a)= 0 x = 4< x ⇔ a= − 13 0 1$
2.: Пусть первое уравнение имеет два корня и ровно один меньше $x1.$ Это задается следующей картинкой для параболы $2 f = x − 8x+ 3− a:$

$x1$

Это задается следующими условиями:
$( ⌊( (⌊ { ||| ||{ (a+-9)(a−-3)= 0 ||| f(x1)= 0 ||||| || 4 {|⌈ x0 < x1 { |||||( 4< 3-− a ||| f(x1) <0 ⇔ ||| ⌈ (a +9)(2a− 3) ⇔ −9≤ a < 3 (D > 0 |||| ----4------< 0 |( a> −13$

Следовательно, ответ

a∈ [− 9;3)∪ {−13}

Ответ:

$a ∈{− 13} ∪[−9;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#64211

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ (x2 − 7x − y +4) ⋅√x-−-y+-4= 0 y = −x +a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

([ 2 |||{ y = x − 7x+ 4 y = x+ 4 |||(y ≤x + 4 y =− x+ a

Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ лежащих либо на части параболы $y = x2− 7x+ 4,$ лежащей ниже прямой $y =x + 4,$ либо на прямой $y = x+ 4.$

Необходимо найти те $a,$ при которых прямая $y = −x+ a$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

Найдем точки пересечения параболы $y = x2− 7x+ 4$ и прямой $y = x+ 4:$

2 x − 7x +4 = x+ 4 ⇔ x= 0;8

Получаем точки $A(0;4)$ и $B (8;12).$

Изобразим граничные положения прямой $y = −x+ a :$

$xyyy141018AB((( = =2123)))xx2−+47x+ 4$

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 2 и 3.

п. (1): Прямая $y = − x+ a$ касается параболы $y = x2− 7x+ 4,$ если уравнение $x2− 7x+ 4= − x+ a ⇔ x2− 6x+ 4− a= 0$
имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант
$D =4(5+ a)= 0 ⇔ a =− 5$
п. (2): Прямая $y = −x +a$ проходит через точку $A (0;4):$ $a =4$
п. (3): Прямая $y = −x +a$ проходит через точку $B (8;12):$ $12= −8 +a ⇔ a= 20$

Следовательно, ответ

a ∈[4;20)∪ {−5}

Способ 2. Алгебраический

Подставим $y = −x+ a$ в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно $x$ должна иметь 2 решения:

( ⌊ ||{ ⌈x2− 6x+ 4− a= 0 x= x1 = a−-4 ||( 2 x≥ x1

Нам подходят две ситуации: когда первое уравнение имеет единственный корень $x0 >x1,$ и когда первое уравнение имеет два корня, причем ровно один из них больше $x1$ (а второй $≤ x1$ ).

1.: Пусть первое уравнение имеет единственный корень, больший $x1.$ Это задается следующими условиями: ${D = 4(5+ a)= 0 x =3 > x ⇔ a= − 5 0 1$
2.: Пусть первое уравнение имеет два корня и ровно один больше $x1.$ Это задается следующей картинкой для параболы $2 f = x − 6x+ 4− a:$

$x1$

Это задается следующими условиями:
$(|| ⌊(| (a−-4)(a−-20) (|⌊ {f(x1)= 0 |||| ||{ 4 = 0 ||{|⌈ x0 > x1 ||{ ||||| a−-4 | ⇔ | |⌈( 3> 2 ⇔ 4 ≤ a< 20 ||( f(x1)< 0 |||| (a−-4)(a-− 20) <0 D > 0 |||( 4 a> −5$

Следовательно, ответ

a ∈[4;20)∪ {−5}

Ответ:

$a ∈{− 5} ∪[4;20)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#63812

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ ( 2 2 ) √ -------- x + y +6x ⋅ y+ x+ 6= 0 ( y = x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

(||⌊ x2+ y2+ 6x = 0 (|| ⌊(x+ 3)2+y2 = 9 ||||⌈ |||| ⌈ { y+ x+ 6= 0 ⇔ { y =− x− 6 |||y +x +6 ≥ 0 ||| y ≥ −x − 6 |||( |||( y = x+ a y = x+ a

Графиком первого уравнения совокупности является окружность с центром в точке $(−3;0)$ и радиусом 3. Графиком второго уравнения является прямая.

Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ лежащих на прямой $y = −x− 6$ или на части окружности $2 2 (x+ 3) + y = 9,$ лежащей выше этой прямой. Тогда два решения система будет иметь при тех $a,$ при которых прямая $y =x + a$ имеет две точки пересечения со множеством $S.$

Найдем точки пересечения окружности $x2+ y2+ 6x= 0$ и прямой $y = −x− 6:$

( {x2 +y2+ 6x =0 ( ⇔ A(−6;0), B (−3;−3) y = −x− 6

Изобразим граничные положения прямой $y = x+ a:$

$xyyAB((((1234=)))) −x− 6$

Положения 1 и 4: прямая $y =x + a$ касается окружности $x2+ y2+ 6x= 0.$ Следовательно, уравнение

2 2 2 2 x + (x + a) + 6x= 0 ⇔ 2x +2(a+ 3)x + a = 0

имеет одно решение. Значит, его дискриминант равен нулю:

2 2 √ - D = 4(a+ 3)− 8a = 0 ⇔ a = 3(1± 2)

Положение 2: прямая $y = x + a$ проходит через точку $B :$

−3 = −3+ a ⇔ a =0

Положение 3: прямая $y = x + a$ проходит через точку $A :$

0= −6 +a ⇔ a= 6

Нам подходят положения 1, 2, 3, 4, а также все положения между 2 и 3. Следовательно, ответ

√ - a ∈[0;6]∪ {3(1± 2)}

Способ 2. Алгебраический

Подставим $y = x+ a$ в первое уравнение и получим следующую систему

( ⌊ 2 2 ||||{ |2x + 2(a +3)x+ a = 0 ⌈x= − a+-6 |||| 2 ( x≥ − a-+-6 2

Так как замена $y = x +a$ линейная, то полученная система должна иметь два решения.

Примем число $a+6 − 2$ за $x1.$ Заметим, что $x1$ является решением системы при любом $a.$ Следовательно, либо квадратное уравнение должно иметь единственный корень, причем больший $x1,$ либо оно должно иметь два корня, причем ровно один больше $x1$ (а второй, соответственно, $≤x1$ ).

Рассмотрим параболу $f(x)= 2x2+ 2(a +3)x+ a2.$ Выпишем необходимые данные:

D = 4((a+ 3)2− 2a2) x0 = − a+-3 2 a(a−-6) f(x1)= 2

1 случай. Квадратное уравнение имеет один корень $> x1.$ Этот корень равен $x0.$ Значит:

( ( √- { D = 0 { a= 3(1± 2) √- ( x0 > x1 ⇔ ( a∈ ℝ ⇔ a= 3(1± 2)

2 случай. Квадратное уравнение имеет два корня: один $> x1,$ второй $≤ x1.$ Это задается следующей картинкой для параболы $f :$

$x1$

Такая картинка описывается следующей системой:

( |||| D > 0 ||{ ⌊f(x1)< 0 | ||( ⇔ 0≤ a≤ 6 |||| |⌈{ f(x1) =0 |( ( x1 < x0

Следовательно, ответ

a ∈[0;6]∪ {3(1± √2 )}

Ответ:

$a ∈[0;6]∪ {3(1± √2)}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#63811

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ (2 ) √ -------- x − 7x +8 − y ⋅ x− y+ 8 =0 ( y = ax+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Сделаем замену $x+ 1= t.$ Тогда система равносильна

( ⌊ (⌊ ||| (t− 1)2− 7(t− 1)+ 8− y =0 ||| y = t2− 9t+16 |||{ ⌈ |||{⌈ t− 1− y+ 8= 0 ⇔ y = t+ 7 |||| t− 1 − y +8 ≥ 0 ||||y ≤ t+7 ||( y = at ||(y = at

Пусть $S$ — множество точек плоскости $tOy,$ лежащих либо на части параболы $y = t2 − 9t+ 16,$ лежащей ниже прямой $y = t+7,$ либо на прямой $y = t+7.$

Необходимо найти те $a,$ при которых прямая $y = at,$ проходящая через начало координат плоскости $tOy,$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

Найдем точки пересечения параболы $y = t2 − 9t+ 16$ и прямой $y = t+ 7:$

t2 − 9t+ 16= t+ 7 ⇔ t= 1;9

Получаем точки $A(1;8)$ и $B (9;16).$

Изобразим граничные положения прямой $y = at:$

$tyyy18119AB(((( = =61234))))tt2+−79t+16$

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 3 и 4, включая 3.

п. (1)

Прямая $y = at$ касается параболы $y = t2− 9t+ 16,$ если уравнение

2 2 t − 9t+16 = at ⇔ t − (a+ 9)t+ 16= 0

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

D = (a +9)2− 82 = 0 ⇔ a =− 17;− 1

При $a = −17$ прямая $y =at$ касается части параболы, лежащей выше прямой $y =t+ 7,$ то есть не принадлежащей множеству $S$ (так как точка касания ищется по формуле $t0 = a+29$ ). При $a = −1$ прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит $a= −1.$

п. (2)

Прямая $y = at$ параллельна прямой $y = t+ 7:$

a =1

п. (3)

Прямая $y = at$ проходит через точку $B (9;16):$

16 16 =9a ⇔ a= 9-

п. (4)

Прямая $y = at$ проходит через точку $A (1;8):$

a =8

Следовательно, ответ

[ ) a∈ 16;8 ∪ {−1;1} 9

Способ 2. Алгебраический

Будем пользоваться той же заменой $x+ 1 =t.$ Подставим $y = at$ в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно $t$ должна иметь 2 решения:

(| ⌊ 2 ||{ ⌈t − (a + 9)t+ 16= 0 | (a− 1)t= 7 ||( (a − 1)t≤ 7

$a > 1$

Тогда система равносильна

( ⌊ 2 ||||{ |t − (a + 9)t+ 16= 0 ⌈t= t = --7- |||| 1 a − 1 ( t≤ t1

Число $t1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший $t1,$ либо два корня, причем ровно один из них меньше $t1$ (а второй соответственно $≥ t1$ ).

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a +1)(a+ 17).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = t − (a+ 9)t+ 16$ равна $a+9 t0 = -2 .$

Если $D = 0,$ то $a = −17;− 1.$ Но эти $a$ не удовлетворяют условию $a> 1.$

Если $D > 0,$ то $a < −17$ или $a> − 1.$ Ветви параболы $f = t2 − (a+ 9)t+16$ направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $t1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$t1$

Это задается следующими условиями:

(|⌊ ({ (| ⌊(| (9a− 16)(a− 8) (| ⌊( 16 ||||| f(t1) = 0 |||| ||{ ---(a−-1)2---= 0 |||| |||{ a= -9 ;8 ||||||⌈ (t0 < t1 |||| |||| a +9 7 |||| ||| √-- √ -- { f(t)< 0 ⇔ { |||( --2- < a−-1 ⇔ { |||( (a+-4+--39)(a-+4-−--39)< 0 ||| 1 ||| ⌈ (9a-− 16)(a-− 8) ||| ⌈16 a− 1 |||||D > 0 ||||| (a − 1)2 < 0 ||||| 9 < a< 8 |(a > 1 |( a> 1 |( a> 1

Следовательно, в этом случае получаем $196≤ a< 8.$

$a < 1$

Тогда система равносильна

( ⌊ 2 ||||{ |t − (a + 9)t+ 16= 0 ⌈t= t = --7- |||| 1 a − 1 ( t≥ t1

$t= t1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший $t1,$ либо два корня, причем ровно один из них больше $t1$ (а второй соответственно $≤ t1$ ).

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a +1)(a+ 17).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = t − (a+ 9)t+ 16$ равна $a+9 t0 = -2 .$

Если $D = 0,$ то $a= −17;−1.$ При $a = −17$ получаем $t0 = −4,$ $t =− 7- 1 18$ — не подходит. При $a =− 1$ получаем $t =4, 0$ $t= − 7 1 2$ — подходит.

Если $D > 0,$ то $a < −17$ или $a> − 1.$ Тогда парабола $y = t2− (a+ 9)t+ 16$ пересекает ось абсцисс в двух точках и необходимо, чтобы число $t1$ находилось между этими точками либо совпадало с левой точкой.