Тема 19. Задачи на теорию чисел
19.07 Остатки
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на теорию чисел
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30647

У числа 2100  нашли сумму цифр, у результата снова нашли сумму цифр, и т.д. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.

Показать ответ и решение

Так как остатки у числа и у суммы его цифр при делении на 9  совпадают, то при проведении операции, описанной в условии, остаток каждого полученного числа при делении на 9  один и тот же.

Определим, какие остатки при делении на 9  дает двойка в некоторой степени:

1
2 ≡2  (mod 9)
22 ≡4  (mod 9)
23 ≡8  (mod 9)
24 ≡7  (mod 9)
5
2 ≡5  (mod 9)
26 ≡1  (mod 9)
27 ≡2  (mod 9)
28 ≡4  (mod 9)

...
Таким образом, мы получили цикл остатков 2,4,8,7,5,1  длиной 6  . Так как 100≡ 4 (mod 6)  , то 2100 ≡24 ≡ 7 (mod 9).  Существует единственное однозначное число, дающее остаток 7  при делении на 9  , — это число 7.
Ответ: 7

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!