Тема 19. Задачи на теорию чисел
19.07 Остатки
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на теорию чисел
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30639

Какие остатки при делении на 5 может давать точный квадрат?

Показать ответ и решение

Рассмотрим точный квадрат  2
a .  Произведение чисел дает при делении на 5 такой же остаток, какой дает произведение их остатков при делении на 5. Следовательно, достаточно посмотреть, какие остатки может давать a  при делении на 5.

  • Пусть a =5k.  Тогда

     2     2      2
a = 25k = 5⋅5k

    Значит,  2
a  без остатка делится на 5.

  • Пусть a =5k +1.  Тогда

     2     2           (  2    )
a  =25k + 10k+ 1= 5 5k + 2k + 1

    Значит, a2  дает остаток 1 при делении на 5.

  • Пусть a =5k +2.  Тогда

     2     2           (  2    )
a  =25k + 20k+ 4= 5 5k + 4k + 4

    Значит, a2  дает остаток 4 при делении на 5.

  • Пусть a =5k +3  . Тогда

    a2 = 25k2+ 30k +9 = 5(5k2+6k +1) +4

    Значит,  2
a  дает остаток 4 при делении на 5.

  • Пусть a =5k +4.  Тогда

     2     2            (  2       )
a  =25k + 40k+ 16= 5 5k + 8k+ 3 + 1

    Значит, a2  дает остаток 1 при делении на 5.

Ответ: 0, 1, 4

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!