Тема 18. Задачи с параметром
18.11 Функции. Монотонность: f(x) ∨ const и f(f(x)) = x
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#33662

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых неравенство

| 2          2       |     2       2
||x  − 6x+ 5|− x + 6x− 13|< a− a − (x− 2)+ 2x− 4

имеет единственное целое решение.

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство

 2           2             2         2
||x  − 6x+ 5|− (x − 6x+ 5)− 8|+ x − 6x+ 5+ (a − a+ 3)< 0

Сделаем замену t= x2− 6x+ 5= (x− 3)2− 4≥ −4  , тогда неравенство примет вид

             2
||t|− t− 8|+t+ (a − a+ 3)< 0

Переменной t< −4  не соответствует ни один x  ; переменной t=− 4  соответствует один x= 3  ; переменной t>− 4  соответствует два x =3± √t+-4  . Следователььно, целый x  мы получаем, если √t+-4∈ ℤ

Рассмотрим функцию g(t)=||t|− t− 8|+ t  :

     (||t+ 8,t≥ 0
     |{
g(t)= |||3x+ 8,− 4< t<0
     (−t− 8,t≤−4

Следовательно, график функции f(t)= g(t)+(a2− a+3)  выглядит следующим образом (выделим часть при t≥ −4  ):

PIC

Функция y = f(t)  монотонно возрастает при t≥ −4  , а наше неравенство имеет вид f(t)< 0  . Если взято такое a= a0  , что существует решение неравенства f(t)<0  , то оно имеет вид t∈[−4;t0)  , причем это a0  задается условием f(− 4)<0  . Так как при t= −4  мы получаем целый x =3  , то t0  должно быть меньше − 3  (иначе √t+-4∈ℤ  и мы получим еще два целых x  ). Следовательно,

(               (                                 (
{f(−4)<0        {||− 4|+4 − 8|− 4 +a2− a+ 3< 0    { a2 − a− 1< 0
(f(−3)≥0    ⇔   (||− 3|+3 − 8|− 3 +a2− a+ 3≥ 0 ⇔  ( a2 − a+ 2≥ 0
(  √-       √-            -          -
|{1−25 <a < 1+25-       1−-√5      1+-√5
|(a∈ ℝ             ⇔     2   < a<   2
Ответ:

 a ∈(1−√5;1+√5)
      2    2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!