Тема 18. Задачи с параметром
18.11 Функции. Монотонность: f(x) ∨ const и f(f(x)) = x
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31693

Найдите наименьшее и наибольшее значения параметра a  , при которых уравнение

√ ---- ∘ -3---
  x− a+  x + 1= 2

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Так как композиция двух функций одинакового характера монотонности является возрастающей функцией, то f (x)=√x-−-a
 1  и       √ 3----
f2(x)=   x +1  — возрастающие функции. Сумма двух возрастающих функций — возрастающая функция, следовательно,       √----  √-3---
f(x)=  x− a+  x + 1  — возрастающая на всей области определения:

({
  x≥ a
( x≥ −1

Тогда уравнение f(x)= const  имеет не более одного решения.

1.
Пусть a≤ −1  , тогда областью определения являются x ≥− 1  . Тогда f(x)≥f(−1)  . Следовательно, x0  — решение исходного уравнения, если f(x0)= 2≥ f(−1)  :
(   √ -----       (                   (
{2 ≥  −1− a   ⇔   {0 ≤− 1− a ≤4   ⇔   {−5 ≤a ≤− 1   ⇔   −5≤ a≤ −1
(a ≤−1            (a ≤− 1             (a ≤−1

Наименьшее a  среди найденных равно a= −5.

2.
Пусть a> −1  , тогда областью значений являются a≥ a  . Тогда f(x)≥ f()  . Следовательно, x0  — решение исходного уравнения, если f(x0)= 2≥ f(a)  :
({    √-3---       ({    3                      -
  2≥  a + 1   ⇔    0 ≤a + 1≤ 4    ⇔  −1 <a ≤ 3√3
( a> −1           (a >− 1

Наибольшее a  среди найденных равно     √-
a = 33.

Ответ:

 a ∈{−5; 3√3}

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!