Перенесем все слагаемые в левую часть:

• Рассмотрим функцию она определена при

  Возьмем ее производную:

  

  Очевидно, что при производная положительна, следовательно, функция строго монотонно возрастает на всей области определения.

• Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой.
• Функция — парабола с ветвями вниз, с вершиной в точке Таким образом, на промежуток приходится ее левая монотонно возрастающая ветвь.

Получили, что все три функции строго монотонно возрастают на промежутке следовательно, и их сумма строго монотонно возрастает на этом промежутке. Из этого сразу следует, что уравнение имеет не более одного корня. Нам нужно найти такие при которых он существует и принадлежит отрезку

Будем рассматривать строго монотонно возрастающую функцию

Если в точке она принимает положительное значение, то во всех точках отрезка она также будет принимать положительные значения, то есть корней на этом отрезке не будет. Таким образом, значения соответствующие этой ситуации, нам точно не подойдут. Найдем их.

При всех остальных то есть значение функции в точке неположительно. Если в начале отрезка, то есть в точке функция неположительна, а в некоторой точке отрезка функция положительна, то где-то на она будет равна нулю, то есть будет иметь корень.

Заметим, что при функции и принимают положительные значения, а функция неограниченно возрастает, так как логарифм от близкого к нулю числа стремится к и перед логарифмом стоит знак «».

Таким образом, какой бы ни была константа функция будет принимать положительное значение в некоторой точке отрезка

Тогда исходное уравнение имеет ровно одно решение на указанном отрезке при