Тема 18. Задачи с параметром
18.25 Графика. Отрезок, ромб, квадрат и другие нестандартные графики
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#33294

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

({
  |x− a|+2|y− a|= 5
( xy− x− y +1 =0

имеет ровно три различных решения.

Показать ответ и решение

Второе равенство системы можно преобразовать

                                        ⌊
x(y − 1)− (y− 1)= 0 ⇔  (y− 1)(x− 1)= 0  ⇔   ⌈x= 1
                                         y = 1

Рассмотрим первое равенство. При y ≥a  оно равносильно      1       5
y =− 2|x − a|+ 2 + a  , при y < a  равносильно    1       5
y = 2|x− a|− 2 + a  . Следовательно, оно задает ромб ABCD,  точка пересечения диагоналей которого O(a;a)  , то есть движется по прямой y =x  .

Рис. 1: вершина B  лежит на прямой y =1  . Так как вершина B  имеет координаты (      )
 a;a+ 52 , то a+ 52 = 1  , откуда a =− 32  .

PIC

Рис. 2: точка пересечения прямых y = 1  и x= 1  лежит на стороне BC  ромба. Сторона BC  лежит на правой ветви уголка y =− 12|x− a|+ 52 +a  , то есть на y−, right = − 12(x− a)+ 52 +a  , следовательно,

1= − 1(1− a)+ 5 +a ⇔  a= − 2
    2       2             3

PIC

Рис. 3: точка пересечения прямых y = 1  и x= 1  лежит на стороне AD  ромба. Сторона AD  лежит на левой ветви уголка y = 1|x− a|− 5 +a
   2       2  , то есть на y+, left = − 1(x− a)− 5 +a
         2       2  , следовательно,

1= − 1(1 − a)− 5+ a ⇔  a = 8
     2       2            3

PIC

Рис. 4: вершина D  лежит на прямой y = 1  . Так как вершина D  имеет координаты (a;a− 5)
      2 , то a− 5= 1
   2  , откуда a = 7
   2  .

PIC

Следовательно, a= − 32;− 23;83;72.

Ответ:

 a ∈{− 3;− 2;8;7}
      2  3 32

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!