Преобразуем второе уравнение:

Для , , уравнение в системе координат задает отрезок , так как имеет вид . Тогда первое равенство равносильно

и задает в той же системе координат показательную функцию.

Таким образом, будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений системы. Нас просят решить систему при всех , то есть найти такие , при которых не существует точек вида , принадлежащих множеству ; существует одна точка такого вида, принадлежащая множеству ; две, три и т.д. Фактически это равносильно тому, что мы ищем число точек пересечения горизонтальной прямой с множеством .

Заметим, что отрезок с графиком показательной функции имеет одну точку пересечения — точку . Следовательно, при имеем — решение системы, при система не имеет решений.

Найдем уравнение прямой

Следовательно, абсцисса точки ищется из уравнения

Подбором находим, что . Тогда Следовательно, при решение , при решений нет.