Сделаем замену , , тогда система равносильна

Данная система имеет не более четырех решений. Неизвестной не соответствует ни один , соответствует один , неизвестной соответствуют два . Аналогично для и : , , . Следовательно, решению , соответствуют два решения (I тип), решению , соответствуют два решения (I тип), а решению , , соответствуют четыре решения (II тип).

Значит, система должна иметь либо два решения типа, либо одно решение II типа.

Исследуем второе уравнение системы. При оно задает точку, следовательно, система имеет не более одного решения, что нам не подходит. При оно задает пустое множество, что тоже нам не подходит. Следовательно, . Тогда , . Значит, производная

Следовательно, при функция убывает, причем заметим, что уравнение симметрично относительно перемены местами и , следовательно, график симметричен относительно прямой . Тогда прямая занимает одно из положений, обозначенных на рисунке:

:

Прямая проходит через , следовательно,

:

Так как прямая также симметрична относительно , то точка касания для положения прямой находится на прямой . Следовательно, , откуда , тогда