Первое равенство при фиксированном задает окружность с центром в точке и радиусом . Так как , то центр окружности при изменении движется по окружности с центром в начале координат и радиусом . Следовательно, при всех первое уравнение задает множество точек, располагающихся между окружностями с центром в начале координат и радиусами и (назовем это множество “бубликом”).

Рассмотрим второе уравнение. При оно равносильно , а при равносильно . Следовательно, при оно задает квадрат, точка пересечения диагоналей которого совпадает с началом координат , а вершины лежат на координатных осях. При оно задает точку или пустое множество, что нам не подходит (точка не лежит на бублике, а пустое множество дает пустое множество решений системы).

Рассмотрим два граничных положения для квадрата, находясь между которыми, квадрат имеет хотя бы одну точку пересечения с бубликом, следовательно, существует такое , для которого существует окружность, с которой квадрат имеет хотя бы одну точку пересечения, то есть существует такая тройка :

Так как половина диагонали квадрата равна , то , и