Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее значение параметра , при котором уравнение
1 способ.
Рассмотрим .
Тогда уравнение примет вид . Тогда нам нужно найти наименьшее значение , при котором
прямая будет пересекать график хотя бы в одной точке. Исследуем . Для этого
найдем сначала ее производную:
Определим знаки производной:
Следовательно, схематично график функции выглядит так:
Следовательно, наименьшее значение параметра – когда прямая проходит через точку
экстремума функции :
2 способ.
Заметим, что в первом способе было очень много вычислений и на самом деле нам повезло, что при
решении уравнения слагаемые с и взаимно уничтожились и мы пришли к квадратному
уравнению. А что делать, если числа так хорошо не подобраны и мы не получим в конечном итоге
“красивое” уравнение, которое сможем решить?
Давайте рассмотрим второй способ решения подобных уравнений.
Рассмотрим три точки: , , . Тогда уравнение примет вид
Где располагается точка ? Эта точка “бегает” по прямой . Графически это выглядит так:
Здесь мы будем использовать классическую идею планиметрии. Отразим симметрично точку относительно прямой (то есть проведем , где :
Тогда . Заметим, что по правилу треугольника, если точка не лежит на отрезке , то . Следовательно, наименьшая сумма длин будет достигаться тогда, когда .
Таким образом, мы идейно поняли, где должна находиться точка . Теперь осталось найти ее координаты.
1) Найдем координаты точки .
Для этого сначала найдем уравнение прямой . Так как , то если уравнение прямой
имеет вид , то (произведение угловых коэффициентов двух взаимно
перпендикулярных прямых равно ). Следовательно, .
Для того, чтобы найти число , нужно подставить координаты точки в уравнение прямой:
Найдем координаты точки – это точка пересечения прямых и :
2) Найдем уравнение прямой . Если уравнение этой прямой в общем виде выглядит как , то
3) Теперь можно найти значение параметра .
Чем хорош этот способ? Во-первых, он более изящный. Во-вторых, в ходе решения мы сталкивались только с линейными уравнениями, которые решать намного проще.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!