Пусть в какой-то год на счете у Ивана будет рублей. Определим, каким должно быть , чтобы ему было выгодно выбрать схему 1. Если Иван выберет схему 1, то его прибыль в этом году составит рублей. Если схему 2 — то рублей. Если схема 1 выгоднее, то прибыль в случае выбора схемы 1 больше:

Заметим, что если рублей, то прибыль для схем 1 и 2 будет одинаковой. Таким образом, если в какой-то год на счете у Ивана окажется не меньше 1000000 рублей, то ему выгоднее выбирать схему 1 в этот и в последующие годы, поскольку далее сумма на счете только увеличивается. Если сумма на счете в какой-то год меньше 1000000 рублей, то ему выгодно в этот год выбирать схему 2 и так далее до тех пор, пока сумма на счете не станет больше или равна 1000000 рублей.
Таким образом, мы доказали, что не может быть такого, что Ивану в какой-то год выгодно выбрать схему 1, а потом — схему 2.

 

1) Последовательность выбора схем: 1, 1, 1, 1.
Пусть Иван изначально положил на счет рублей. Тогда он сразу выбирает схему 1 и сумма на счете через четыре года будет равна рублей. Значит, прибыль будет равна рублей. Проверим, может ли эта прибыль принимать максимальное значение, равное 417967:

Число меньше 1000000. Следовательно, получили противоречие, поскольку рассматривали случай .

 

2) Последовательность выбора схем: 2, 1, 1, 1.
Пусть Иван положил на счет рублей. Тогда в первый год ему выгодно выбрать схему 2, но уже во второй год ему выгодно выбрать схему 1. Сумма на счете в начале второго года будет равна рублям, значит, чтобы далее выгодно было выбрать схему 1, эта сумма должна быть не меньше 1000000 рублей:

Таким образом, мы получили границы для : В этом случае прибыль в конце четвертого года будет равна Оценим прибыль аналогично первому случаю: Проверим, пересекается ли эта оценка с . Для этого сравним числа Поскольку , то получим Тогда нет ни одного подходящего для этого случая значения .

 

3) Последовательность выбора схем: 2, 2, 1, 1.
Пусть в первые два года Ивану было выгодно выбирать схему 2, а дальше – схему 1. Тогда на начало третьего года сумма на счете больше или равна 1000000 рублей:

Также в начале второго года сумма была все еще меньше 1000000 рублей: Таким образом, должно быть таким: Прибыль в конце четвертого года будет равна Оценим прибыль в этом случае: Пересечем полученные решения с . Так как то нам подходят такие Заметим, что при прибыль составит 417967 рублей.

 

Так как нам нужно найти хотя бы одно значение , то остальные случаи рассматривать не будем.