Тема 17. Задачи по планиметрии
17.06 Подобие треугольников и пропорциональные отрезки
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по планиметрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31018

На стороне AC  треугольника ABC  взята точка E  . Через точку E  проведены прямая ED  параллельно стороне BC  и прямая EF  параллельно стороне AB  (D  и F  — точки на этих сторонах). Докажите, что         √ ----------
SBDEF = 2 SADE ⋅SEFC  .

Показать ответ и решение

Пусть S    = S
 ADE    1  , S   = S
 EFC   2  , S     = S
 BDEF    0  . Требутся доказать, что S =2√S-S--
 0     12  .

PIC

Пусть EF = x  , DE = y  . Так как △EF C ∼ △ABC  (∠C  — общий, ∠EFC = ∠ABC = α  как соответственные при EF ∥AB  и секущей BC  ). Тогда, если AB :EF = k  , то AD = (k − 1)x  .

Аналогично △ADE  ∼△ABC  и

BC   AB     k              k                      1
-y-= AD- = k− 1  ⇒  BC = k−-1y  ⇒   FC =BC − y = k−-1y

Тогда с учетом ∠ADE  = ∠ABC = α  (как соотвественные при DE ∥ BC  и секущей AB  ) имеем:

S1 = 1AD ⋅DE ⋅sin ADE = 1(k − 1)xysinα
     21               12  1
S2 = 2EF ⋅F C⋅sinEF C =2 ⋅k−-1xysinα
       1                1   k2
SABC = 2AB ⋅BC ⋅sinABC = 2 ⋅ k− 1xysinα
                   1      (  k2           1  )  1
S0 =SABC − S1− S2 = 2xysinα⋅ k− 1-− (k− 1)− k−-1 = 2xysinα ⋅2

Тогда

    ∘ ---------   ∘ (-----------)--(------------)-
S0 = 2 1x2y2sin2α =2  1(k− 1)xysinα  ⋅ 1 ⋅-1--xy sinα  =2∘S1S2-
      4              2              2  k− 1

Ч.т.д.

Ответ: Доказательство

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!