Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На ребре куба взята точка такая, что
а) Докажите, что плоскость перпендикулярная прямой и содержащая делит ребро на отрезки и отношение которых равно
б) На диагонали грани взята точка — середина этой диагонали. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми и если ребро куба равно а
а) Заметим, что следовательно, Проведем через точку прямую Тогда перпендикулярна двум пересекающимся прямым и следовательно, перпендикулярна плоскости, построенной на этих прямых. Значит, и
Пусть Тогда следовательно, Следовательно, как прямоугольные по острому углу и равным катетам Следовательно, Следовательно, так как по условию то откуда следует, что то есть Что и требовалось доказать.
б) 1. Так как то можно принять Тогда — ребро куба.
Вспомним, что для того, чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми и нужно провести плоскость перпендикулярно прямой спроецировать прямую на эту плоскость и найти расстояние от точки пересечения прямой с этой плоскостью до проекции прямой (см. рис.)
Из пункта а) следует, что плоскость, перпендикулярная прямой уже найдена — это плоскость Сечение куба этой плоскостью — прямоугольник (прямоугольник, так как следовательно, а ).
Точка пересечения прямой с — точка
2. Осталось найти проекцию прямой на Для этого спроецируем точки и на нее.
Найдем проекцию на плоскость Проведем тогда Пусть значит, — проекция на Заметим сразу, что
Найдем проекцию на плоскость Проведем следовательно, а значит Тогда — проекция точки на Проведем через точку как показано на рисунке:
Тогда — проекция точки на
3. Опустим перпендикуляр из точки на Получим отрезок Это и есть искомое расстояние.
Заметим, что если то как прямоугольные по общему острому углу Следовательно,
Необходимо выразить отрезки и через
4. Найдем необходимые отношения.
Так как — середина то по теореме Фалеса
— высота, опущенная из вершины прямого угла следовательно,
Пусть Так как по свойству высоты из прямого угла то получаем квадратное относительно уравнение:
Тогда
Заметим, что следовательно,
По теореме Фалеса
Заметим, что
как прямоугольные по двум катетам. Следовательно,
Тогда
Значит,
Так как — прямоугольник, то следовательно,
Тогда по теореме Пифагора
5. Таким образом, мы нашли, что значит,
Так как ребро куба равно то
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!