Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана пирамида 
в основании которой лежит прямоугольник 
Сечение пирамиды — трапеция 
причем точки 
лежат на
ребрах 
и 
соответственно. Известно, что основания этой трапеции
а 
а) Докажите, что точки 
и 
— середины ребер 
и 
б) 
— точка пересечения диагоналей прямоугольника 
а 
—
высота пирамиды 
Найдите 
если известно, что площадь
прямоугольника 
равна 48, а площадь трапеции 
равна
24,5.
а) Будем пользоваться следующей теоремой: если нам даны три попарно пересекающиеся плоскости, то их линии пересечения либо параллельны, либо все пересекаются в одной точке. Из этой теоремы следует, что если две из трех линий пересечения параллельны, то третья линия пересечения также им параллельна.
Так как по условию 
то есть две линии пересечения плоскостей
и 
из трех параллельны, то 
и 
параллельны
линии пересечения плоскостей 
и 
Но так как 
— линия
пересечения плоскостей 
и 
— линия пересечения плоскостей
и 
и 
то 
— линия пересечения плоскостей 
и
— параллельна 
Следовательно, 
Значит, 
и 
Так как 
то
Следовательно, 
Значит, 
То есть
Но 
следовательно, 
Отсюда следует, что 
и 
— середины 
и 
Что и требовалось
доказать.
б) Так как 
то 
Так как основание высоты
пирамиды 
— это центр прямоугольника 
то боковые ребра
пирамиды равны друг другу: 
Из этого следует, что
Следовательно, 
значит, 
то
есть трапеция 
равнобокая.
Проекция 
на плоскость 
— трапеция 
где
Пусть 
Тогда
Пусть 
Тогда 
следовательно, 
Заметим, что 
следовательно,
Как известно, отношение площади проекции многоугольника к площади самого многоугольника равно косинусу угла между плоскостью проекции и плоскостью многоугольника. Следовательно,
равно косинусу угла между плоскостями 
и 
Построим этот
угол.
Проведем 
через точку 
Тогда 
и 
— середины 
и 
соответственно. Тогда 
и 
пересекает 
и 
соответственно в
точках 
и 
причем по теореме Фалеса 
Пусть 
Тогда точка 
лежит на линии пересечения 
плоскостей 
и 
По теореме, которую мы использовали в пункте а),
получаем, что 
Пусть 
По теореме о трех перпендикулярах 
(так как
). Следовательно, по определению 
— угол между плоскостями 
и 
Так как 
то
Рассмотрим 
и прямую 
По теореме Менелая имеем:
По теореме Менелая для 
и прямой 
Следовательно, 
Тогда
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
