Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан тетраэдр 
На ребре 
выбрана точка 
так, что 
Также на ребрах 
и 
выбраны точки 
и 
соответственно
так, что 
— квадрат со стороной 3.
а) Докажите, что ребра 
и 
взаимно перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
если объем
тетраэдра 
равен 100.
а) Так как 
— квадрат, то 
Докажем, что 
Аналогично будет доказываться, что 
Рассмотрим плоскости 
и 
Их линии пересечения
и 
либо параллельны друг другу, либо пересекаются в одной
точке. Так как две из трех линий 
и 
друг другу параллельны, то и
третья линия 
им параллельна. Следовательно, 
Значит и 
Так как 
— квадрат, то 
Следовательно, 
Что и требовалось доказать.
б) Докажем мини-задачу: если 
и 
— противоположные ребра тетраэдра, 
— расстояние между ними, 
— угол между ними, то объем этого тетраэдра равен
Рассмотрим призму 
в основании которой лежит
четырехугольник 
диагонали которого соответственно равны и
параллельны двум противоположным ребрам данного тетраэдра: 
Тогда расстояние между основаниями призмы равно
Значит, объем этой призмы
Распишем, чему равен объем данного тетраэдра 
Заметим, что так как 
то расстояние от любой точки прямой
до этой плоскости будет одинаковым.
Проведем 
Тогда 
Проведем 
Пусть
Тогда 
так как 
и
Следовательно, 
— искомое расстояние.
Из 
следует, что 
Следовательно,
Аналогично 
откуда 
Из доказанной формулы следует, что объем тетраэдра 
равен
Так как по теореме Фалеса 
то
Тогда
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
