Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник 
Точки 
и 
отмечены на сторонах 
и 
соответственно, при этом 
Точки 
и 
— середины 
и
соответственно.
а) Докажите, что точки 
и 
лежат на одной окружности.
б) Найдите косинус угла, образованного отрезками 
и 
если
Источники:
а) Проведем отрезки 
и 
Рассмотрим треугольник 
По условию
то есть он равнобедренный. Тогда его медиана 
также является
высотой и биссектрисой. Значит, 
Рассмотрим треугольник 
По условию 
то есть он
равнобедренный. Тогда его медиана 
также является высотой и биссектрисой.
Значит, 
Таким образом, в четырехугольнике 
углы, опирающиеся на сторону
равны, следовательно, 
— вписанный, то есть точки 
и
лежат на одной окружности.
б) Пусть 
— точка пересечения 
и 
— точка пересечения 
и 
Тогда требуется найти модуль косинуса угла 
Рассмотрим четырехугольник 
Он вписанный, так как сумма его
противоположных углов равна
Значит, по свойству вписанного четырехугольника
Углы 
и 
равны как вертикальные.
По сумме углов треугольника 
имеем
Таким образом,
Мы уже знаем, что 
и 
— биссектрисы углов 
и 
треугольника
соответственно. Значит,
Так как сумма двух углов треугольника меньше 
то угол 
острый
и модуль его косинуса равен его косинусу. Тогда далее будем искать косинус угла
Теперь проанализируем треугольник 
По условию в нем 
Заметим, что
Значит, по теореме, обратной теореме Пифагора, 
— прямоугольный,
где 
Пусть 
Тогда
Таким образом,
По формуле косинуса суммы
Треугольник 
— прямоугольный, значит,
Тогда
По основному тригонометрическому тождеству
Следовательно,
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
