Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности касаются внутренним образом в точке причем меньшая проходит через центр большей. Хорда большей окружности касается меньшей в точке Хорды и пересекают меньшую окружность в точках и соответственно.
a) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Пусть — точка пересечения отрезков и Найдите если радиус большей окружности равен 10, а
Источники:
а) Проведем через точку общую касательную к окружностям.
Рассмотрим меньшую окружность. Мы знаем, что угол между хордой и касательной к окружности равен половине дуги, заключенной между ними, значит, угол между и равен вписанному углу
Рассмотрим большую окружность. По аналогичным соображениям угол между и равен углу
Тогда, так как точки и лежат на одной прямой, то
Таким образом, по признаку параллельных прямых
б) Пусть и — центры большей и меньшей окружностей соответственно. Проведем радиус Заметим, что так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
Опустим перпендикуляр на В равнобедренном треугольнике отрезок — высота, а значит и медиана. Тогда
По теореме Пифагора для треугольника
Так как отрезки и — радиусы меньшей окружности, то
Рассмотрим прямоугольную трапецию
Пусть — перпендикуляр к тогда — прямоугольник и
Следовательно, по теореме Пифагора
Тогда
Так как хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку относятся как их диаметры, то — средняя линия в треугольнике Тогда — средняя линия в треугольнике и — средняя линия в треугольнике следовательно,
По теореме о произведении отрезков хорд имеем:
С учетом равенства получим следовательно,
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!