Тема 17. Задачи по планиметрии
17.01 Задачи №17 из ЕГЭ прошлых лет
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по планиметрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30814

На стороне острого угла с вершиной A  отмечена точка B.  Из точки B  на биссектрису и на другую сторону угла опущены перпендикуляры BC  и BD  соответственно.

a) Докажите, что AC2 +CD2  =AD2 + BD2.

б) Прямые AC  и BD  пересекаются в точке T.  Найдите отношение AT :TC,  если cos∠ABC  = 38.

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

a) Углы BCA  и BDA  прямые, значит, точки C  и D  лежат на окружности с диаметром AB.

Биссектриса AC  вписанного угла BAD  делит дугу BCD  пополам, значит, хорды BC  и CD,  стягивающие равные дуги, равны. Отсюда с учетом теоремы Пифагора для треугольников ABC  и ABD  :

AC2 + CD2 = AC2 + BC2 =AB2 = AD2 + BD2

PIC

б) Пусть ∠BAC = ∠CAD  = α,  тогда из прямоугольного треугольника ABC :

                          3
sinα = sin∠BAC  = cos∠ABC  = 8

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, тогда

∠CBD  = ∠CAD  = α  ⇒   TC = BC ⋅tgα

В прямоугольных треугольниках ABC,  ABD  и AT D :

AB  = BC-;  AD = AB ⋅cos2α= BC--⋅cos2α;  AT = -AD- = BC-⋅cos2α-
      sinα                      sinα           cosα   sinα ⋅cosα

Тогда искомое отношение равно

                                                       ( )
         BC-⋅cos2α             cos2α-  1−-2sin2α   1−-2⋅-38-2  46
AT :TC = sin α⋅cosα :(BC  ⋅tgα) = sin2α =   sin2 α  =    (38)2   =  9
Ответ:

б) 46
 9

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!