Поиск точек экстремума у частного —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32527

Найдите точку минимума функции

x2+-1 y = − x

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x∈ ℝ∖{0}$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2x⋅x− (x2+ 1) x2− 1 y =− -----x2-----= −--x2-

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ x= ±1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;−1)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (−1;0)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x =− 1$ является точкой минимума.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32526

Найдите точку минимума функции

--x-- y = −x2+ 1

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ (x2 +1)− x⋅2x 1− x2 y =− --(x2+-1)2---= −(x2+-1)2

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ x= ±1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−1;1)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (1;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x =1$ является точкой минимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32525

Найдите точку максимума функции

--x---- y = − x2 +289

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ (x2+ 289)− x⋅2x 289− x2 y = −---(x2+-289)2---= −(x2+-289)2

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x= ±17

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;−17)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(−17;17)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= −17$ является точкой максимума.

Ответ: -17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32524

Найдите точку максимума функции $x2+-289 y =− x .$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ ∖{0}.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

2x ⋅x− (x2+ 289) x2− 289 y′ = −------x2-------=− --x2---

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x= ±17

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (0;17)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x∈ (17;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= 17$ является точкой максимума.

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74177

Найдите наименьшее значение функции $y = x+ 49 x$ на отрезке $[3,5;11].$

Показать ответ и решение

Найдём производную функции $y′$ :

′ 49 y = 1− x2.

Приравняем производную $′ y$ к нулю и найдём критические точки:

1− 492 = 0, x

x2 = 49,

x =±7.

Точка $x = −7$ не лежит на отрезке, её мы из рассмотрения исключаем.

Рассмотрим значения функции в точке экстремума $x = 7$ и на границах отрезка $[3,5;11]:$

$y(3,5)= 3,5+ 349,5 = 17,5.$

$y(7) =7 + 497-= 14.$

$y(11)= 11+ 4191 =15151.$

Наименьшее значение функции на отрезке равно 14.

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2658

Найдите точку локального максимума функции

$3x2-+-1875- y = x$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ:

1)

′ 6x2 −-(3x2 +-1875)- 3x2-−-1875- x2-−-625- y = x2 = x2 = 3 ⋅ x2 .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

x2 − 625 3 ⋅-----2--- = 0 ⇔ x2 − 625 = 0,x ⁄= 0 x

– на ОДЗ, откуда находим корни $x1 = 25, x2 = − 25$ . Производная функции $y$ не существует при $x = 0$ , но $x = 0$ не входит в ОДЗ. Таким образом,

′ (x-−-25-)(x-+-25-) y = 3 ⋅ x2 .

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 25$ – точка локального максимума функции $y$ .

Ответ: -25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2069

Найдите точку минимума функции $2 y = --x---- x3 + 1$ на промежутке $(− 1; 1]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= − 1$ .

1)

′ 2x(x3-+-1)-−-3x2-⋅ x2 − x4-+-2x- y = (x3 + 1)2 = (x3 + 1)2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

[ − x4-+-2x- x = 0-- (x3 + 1)2 = 0 ⇔ x = √32

Производная не существует при $x = − 1$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом промежутке $(− 1;1]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на промежутке $(− 1;1]$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка минимума функции $y$ на промежутке $(− 1;1 ]$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2068

Найдите точку минимума функции $x2−-1 y = x2+ 1$ на отрезке $[− 15;15].$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x$ — любое число.

1) Найдем производную:

′ 2x ⋅(x2 +1)− 2x ⋅(x2− 1) 4x y = --------(x2-+1)2------- = (x2-+1)2

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

--4x--- (x2 +1)2 =0 ⇔ x= 0

Производная существует при любом $x.$

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ и промежутки монотонности $y :$

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y$ на отрезке $[−15;15]:$

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[− 15;15]:$

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ — точка минимума функции $y$ на отрезке $[−15;15].$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1644

Найдите точку локального минимума функции

x2-+-20162- y = − x

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x ⁄= 0$ .

1) Найдем производную:

′ 2x2-−-(x2-+-20162-) 20162-−-x2- y = − x2 = x2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует):

2 2 2016--−-x--= 0 ⇔ x2 = 20162 x2

— на ОДЗ, откуда находим корни $x1 = − 2016, x2 = 2016$ . Производная функции $y$ не существует при $x = 0$ , но $x = 0$ не входит в ОДЗ. Таким образом,

′ (2016 − x )(2016 + x ) y = ---------x2----------

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 2016$ — точка локального минимума функции $y$ .

Ответ: -2016

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#783

Найдите точку максимума функции $x y = -x- e$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

′ 1 ⋅-ex −-ex-⋅ x 1 −-x- y = e2x = ex

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

1-−-x- ex = 0 ⇔ x = 1.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, $x = 1$ – точка максимума функции $y$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#315

Найдите точку локального минимума функции

$x --e--- y = x + 1$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= − 1$ . Решим на ОДЗ:

1)

( ) ′ x --1--- ----1--- ---ex--- y = e x + 1 − (x + 1)2 = (x + 1)2x.

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

ex --------x = 0 ⇔ x = 0 (x + 1)2

– на ОДЗ (так как $ex > 0$ при любом $x$ ). Производная функции $y$ не существует при $x = − 1$ , но $x = − 1$ не входит в ОДЗ. Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка локального минимума функции $y$ .