Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки лежат в вершинах клеток клетчатой бумаги. Может ли угол оказаться равным
Источники:
Подсказка 1
Угол может располагаться вообще как угодно, неприятно. Давайте использовать линии сетки. Проведём из точки В луч горизонтальный и опустим на него перпендикуляры АЕ и СF, получим углы α = АВЕ и β = CBF (возможно, какой-то из них нулевой! если Е или F на одной линии с В). Что мы можем найти для этих углов?
Подсказка 2
Можем найти тангенс α и β. Теперь давайте вычислим тангенс АВС с помощью формулы тангенса суммы. Поразмышляйте над полученным выражением: что же нам даёт расположение точек в узлах сетки... давайте, не ленитесь, не хочу лишать Вас удовольствия
Подсказка 3
Оп-па, а это выражение (тангенс суммы) рационален! А тангенс 30 градусов нет. Развалили задачу
Проведем из точки луч по линии сетки:
Тогда угол будет равен сумме углов и (они могут быть и отрицательными). Тангенс такого угла равен отношению двух целых чисел, то есть является рациональным числом. Тогда
также рациональное число. Но — число иррациональное.
Если один из углов и является прямым, то можно использовать луч, идущий перпендикулярно первому.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В неравнобедренном треугольнике провели высоту медиану и биссектрису Точки и — ортогональные проекции вершин и на прямую Докажите, что точки и лежат на одной окружности.
Источники:
Подсказка 1
Давайте для начала попробуем продлить биссектрису до пересечения с описанной окружностью ABC в точке X. Что теперь можно вспомнить про эту точку?
Рассмотрим без ограничения общности Тогда точка лежит внутри треугольника , а точка вне его.
Первое решение.
Построим описанную окружность треугольника , тогда продолжение биссектрисы пересечет ее в точке , являющейся серединой дуги . Тогда , то есть медиана равнобедренного треугольника будет также и высотой.
Так как , то получим, что . Так как аналогично получаем, что .
Но углы равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
В итоге . Но из равенства углов следует, что точки лежат на одной окружности.
Второе решение.
Обозначим через и точки пересечения прямых и и соответственно.
Поскольку — биссектриса и треугольники и — равнобедренные, и значит, и
В треугольнике точки и — середины сторон и поэтому — средняя линия, и значит, Аналогично, Следовательно, Возможны два случая:
a) Точки и лежат на одной окружности с диаметром поэтому четырёхугольник — вписанный. Значит,
Следовательно, точки и лежат на одной окружности.
б) тогда точки и лежат на одной окружности с диаметром поэтому четырёхугольник — вписанный. Значит,
Следовательно, точки и лежат на одной окружности.