Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В неравнобедренном треугольнике провели высоту медиану и биссектрису Точки и — ортогональные проекции вершин и на прямую Докажите, что точки и лежат на одной окружности.
Источники:
Подсказка 1
Давайте для начала попробуем продлить биссектрису до пересечения с описанной окружностью ABC в точке X. Что теперь можно вспомнить про эту точку?
Рассмотрим без ограничения общности Тогда точка лежит внутри треугольника , а точка вне его.
Первое решение.
Построим описанную окружность треугольника , тогда продолжение биссектрисы пересечет ее в точке , являющейся серединой дуги . Тогда , то есть медиана равнобедренного треугольника будет также и высотой.
Так как , то получим, что . Так как аналогично получаем, что .
Но углы равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
В итоге . Но из равенства углов следует, что точки лежат на одной окружности.
Второе решение.
Обозначим через и точки пересечения прямых и и соответственно.
Поскольку — биссектриса и треугольники и — равнобедренные, и значит, и
В треугольнике точки и — середины сторон и поэтому — средняя линия, и значит, Аналогично, Следовательно, Возможны два случая:
a) Точки и лежат на одной окружности с диаметром поэтому четырёхугольник — вписанный. Значит,
Следовательно, точки и лежат на одной окружности.
б) тогда точки и лежат на одной окружности с диаметром поэтому четырёхугольник — вписанный. Значит,
Следовательно, точки и лежат на одной окружности.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!