Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Последовательность натуральных чисел определяется следующими соотношениями:
где — фиксированное натуральное число.
Сколько существует таких последовательностей, в которых встречается число 2024?
Источники:
Подсказка 1
Дана формула для вычисления членов последовательности, но она выглядит сложно, попробуйте явно выразить первые члены, может быть увидите какую-то закономерность.
Подсказка 2
Видно, что каждый член с номером, дающим остаток 3 при делении на 4, равен 1. Тогда попробуйте выразить формулы и доказать их справедливость для членов с номерами 4m, 4m+1, 4m+2 и 4m+3, где m — целое неотрицательное число.
Подсказка 3
Все члены с номерами вида 4m имеют вид 4mk+1, с номерами 4m+1 — k-1, с номерами 4m+2 — (4m+3)k-1, с номерами 4m+1 — 1. Доказывать эти формулы очень удобно по индукции, ведь по условию дано соотношение, где последующий член выражается через предыдущий.
Подсказка 4
Теперь, используя полученные формулы, посмотрите какие члены нашей последовательности могут равняться 2024.
Подсказка 5
Числа с номерами 4m и 4m+3 сразу отпадают из-за нечётности, а с номером 4m+1 даёт только одну последовательность (какую?). Для чисел с номерами 4m+2 получается уравнение в целых числах ((4m+3)k=2025). При решении полученного уравнения количество рассматриваемых случаев можно уменьшить, рассмотрев, какие остатки при делении на 4 дают 4m+3, 2025 и какой тогда остаток при деление на 4 должно иметь k.
Докажем, что для любого целого справедливы следующие формулы:
Будем доказывать эти формулы индукцией по . База проверяется непосредственно. Предположим, что формулы справедливы для всех чисел, не больших , и докажем эти формулы для числа . Поскольку по предположению индукции , последовательно получаем следующие равенства:
Таким образом, наши формулы доказаны. Теперь, используя эти формулы, посмотрим, какие члены нашей последовательности могут равняться 2024. Ясно, что числа вида и не могут равняться 2024: числа вида нечётны, а числа вида равны 1 . Далее, числа вида могут равняться 2024 только при , что дает нам один пример последовательности.
Наконец, предположим, что для некоторого целого неотрицательного число равно 2024 . Мы получаем следующее уравнение: . Заметим, что сомножитель дает остаток 3 при делении на 4 , а число 2025 дает остаток 1 при делении на 4. Значит, число , во-первых, должно быть делителем числа 2025 , а во-вторых, должно иметь остаток 3 при делении на 4 (т.к. ). Поскольку , число имеет вид , где и . Для того, чтобы число такого вида давало бы остаток 3 при делении на 4 , необходимо и достаточно, чтобы степень была бы нечетной (поскольку и ). Получаем ещё 6 возможных значений . Вместе с вариантом получаем 7 возможных последовательностей.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Назовём функцию хорошей, если
- определена на отрезке и принимает действительные значения;
- для всех верно
Найдите все хорошие функции.
Подсказка 1
Сразу заметим важную вещь: если f(x) - решение, то и f(x) + c будет решением, где c - любая константа, а также -f(x) - решение. Какие удобные значения функции мы тогда можем подобрать?
Подсказка 2
Сразу хочется сделать, чтобы f(0) = 0. Попробуйте подставить туда точки 0 и 1, что тогда выйдет?)
Подсказка 3
Выйдет, что 1 <= |f(1)| <= 1, т.е. |f(1)| = 1. Давайте считать, что f(1) = 1 (т.к. мы все равно можем умножить функцию на минус в случае чего). А теперь подумайте, что можно подставлять, чтобы оценить f(x)?
Подсказка 4
Например, подставим y = 0, и получим, что f(x) <= |f(x)| <= |x| = x, т.е. f(x) <= x. Попробуйте теперь получить обратную оценку и f(x) будет найдена!
Заметим, что вместе с каждой функцией удовлетворяющей условию, ему также удовлетворяют и все функции вида и Докажем, что если и то при всех верно Отсюда и из замечания выше будет следовать ответ.
Итак, пусть и . Подставив , получаем , то есть , поэтому . Далее для любого имеем
Итак, и то есть Следовательно,
где