Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа и таковы, что выполнены равенства
Найдите .
Подсказка 1
Давайте немного остановим свой взгляд на равенства из условия. Можно сказать, что нам дали идентичные выражения. Где ещё с таким видом равенств вы могли встречаться?
Подсказка 2
Точно, это же теорема косинусов для угла в 120 градусов. Так давайте же попробуем это изобразить на рисунке. Какая фигура там получается?
Подсказка 3
Верно, получается прямоугольный треугольник, а внутри него точка, из которой все стороны видны под углом 120 градусов. Причём расстояние от точки до вершин треугольника и есть наши a, b, c. А у нас просят найти их сумму. Хм, чтобы тогда хорошо сделать... Что будет с нашими отрезками, если повернуть наш треугольник на 60 градусов вокруг вершины с углом 90 градусов?
Подсказка 4
Верно, если посчитать углы и воспользоваться простым свойствами поворота, то получится, что наши отрезки "выпрямляются". То есть мы получили треугольник с известным углом и смежными сторонами, а напротив как раз то, что надо найти. Осталось только воспользоваться известной теоремой, и победа!
Первое решение.
Отложим из одной точки отрезки с длинами соответственно так, чтобы
Тогда по теореме косинусов при учете соотношения получаем, что Видим, что по теореме Пифагора треугольник прямоугольный причем его катет в два раза короче гипотенузы откуда следует равенства
Отметим точку — середину гипотенузы и точку что и точки и по разные стороны от
По построению треугольники и отличаются поворотом на с центром в точке Отметим точку в треугольнике соответсвующую точке в треугольнике Тогда Последнее равенство обусловлено тем, что треугольник получается равносторонним, поскольку точки и отличаются поворотом на с центром в точке
Осталось отметить, что точки лежат на одной прямой, поскольку В итоге получаем, что
а может быть вычислено из теоремы косинусов для треугольника
Второе решение.
Вычтем из первого равенства второе. Получим т.е.
Аналогично, вычитая из второго равенства третье и из третьего первое, получим
Если обозначить то можно переписать предыдущее соотношения как
Теперь сложим все исходные равенства:
(1) |
Нетрудно заметить, что левую часть можно выразить следующим образом:
что означает
Домножением на получаем биквадратное уравнение
корнями которого являются Однако первое из значений явно вступает в противоречие с равенством
Значит, остается т.е.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Про положительные числа и известно, что
Какие значения может принимать произведение ? Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.
Заметим, что при каждом положительном функция
строго монотонно убывает на луче поскольку знаменатели всех дробей возрастают. Следовательно, функция принимает каждое значение не более одного раза. При этом нетрудно видеть, что:
откуда и заключаем, что