Если число имеет разложение вида ... , то количество чётных делителей такого числа равно ... (выбрали степень двойки от до , степень каждого простого от до ). По условию это равно — простое число, как произведение натуральных чисел его можно представить как или .

Случай : , все число равно , не подходит.

Случай : , какое-то , все остальные — приходим к разложению вида .

 

На частном случае решение будет выглядеть так:

С помощью стандартной программы найдем подходящие нам числа до для того, чтобы рассмотреть их:

def dividers(n):
    k = 0
    for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            if i % 2 == 0:
                k += 1
            if (n // i) % 2 == 0 and n // i != i:
                k += 1
    return k

for i in range(1, 100000):
    if dividers(i) == 7:
        print(i)

Подходящие нам числа в диапазоне до - это , и . Хочется разложить эти числа:

Заметим, что все числа раскладываются на , где - простое число.

 

Воспользуемся выведенной формулой для решения:

def prime(x):
    for i in range(2, int(x**0.5)+1):
        if x % i == 0:
            return False
    return True

ans = 0
for i in range(int((33333333 // 2)**(1/6)), int((333333333 // 2)**(1/6)) + 1):
    if prime(i):
        if 33333333 <= 2*(i**6) <= 333333333:
            ans += 1
print(ans)

def prime(x):
    for i in range(2, int(x**0.5)+1):
        if x % i == 0:
            return False
    return True

ans = 0
for i in range(int(11111111**0.25), int((77777777+1)**0.25)+1):
    if prime(i):
        ans += 1
print(ans)

Для начала поймем, какие числа являются подходящими и кратными :

def num(x):
    summ = 0
    while x > 0:
        summ += x % 10
        x //= 10
    return summ
a = set()
for i in range(1, 6999999999+1):
    t = num(i)
    if not t in a:
        if i % 3 == 0:
            print(i, t)
        a.add(t)

Данный код будет печатать числа , а затем те числа, которые начинаются с , или , а остальная часть которых будет целиком состоять из .

Предлагается написать код-генератор для подобных чисел:

ans = [3, 6, 9]
nums = ’369’
x = ’9’
for i in range(9):
    for digit in nums:
        result = int(digit + x)
        if result <= 6999999999:
            ans.append(result)
    x += ’9’
print(len(ans))

Решение 1

ans = 0
for i in range(1, 10):
    # пустая звёздочка
    s = str(i) + ’1231’
    if int(s) % 11 == 0:
        ans += 1
    #односимвольная звёздочка
    for w in range(10):
        s1 = str(i) + ’123’ + str(w) + ’1’
        if int(s1) % 11 == 0:
            ans += 1
    #двухсимвольная звёздочка
    for w in range(10):
        for z in range(10):
            s2 = str(i) + ’123’ + str(w) + str(z) + ’1’
            if int(s2) % 11 == 0:
                ans += 1
print(ans)

Решение 2

from itertools import product
ans = 0
for i in range(1, 10):
    for k in range(0, 3):
        for j in product(’0123456789’, repeat=k):
            s = str(i) + ’123’ + ’’.join(j) + ’1’
            if int(s) % 11 == 0:
                ans += 1
print(ans)

 

ans = 0
for i in range(10):
    for j in range(10):
        # пустая звёздочка
        s = ’829’ + str(i) + ’17’ + str(j)
        if int(s) % 31 == 0:
            ans += 1
        #односимвольная звёздочка
        for w in range(1, 10): #число не начинается с 0
            s1 = str(w) + ’829’ + str(i) + ’17’ + str(j)
            if int(s1) % 31 == 0:
                ans += 1
        #двухсимвольная звёздочка
        for w in range(1, 10): #число не начинается с 0
            for z in range(10):
                s2 = str(w) + str(z) + ’829’ + str(i) + ’17’ + str(j)
                if int(s2) % 31 == 0:
                    ans += 1
print(ans)

ans = 0
# пустая звёздочка
if 2738 % 7 == 0:
    ans += 1
#односимвольная звёздочка
for w in range(10):
    s1 = ’2738’ + str(w)
    if int(s1) % 7 == 0:
        ans += 1
#двухсимвольная звёздочка
for w in range(10):
    for z in range(10):
        s2 = ’2738’ + str(w) + str(z)
        if int(s2) % 7 == 0:
            ans += 1
print(ans)

ans = 0
for x in range(10):
    for i in range(10):
        n = int(’9’ + str(x) + ’123’ + str(i))
        if n % 7 == 0:
            ans += 1
print(ans)

ans = 0
for x in range(10):
    for i in [0, 5]:
        #любое число, оканчивающееся на 0 или 5, делится на 5
        ans += 1
print(ans)

Решение 1

count = 0
x = int(input())
for i in range(1, int(x ** 0.5) + 1):
    if x % i == 0:
        count += 1
        if x // i != i:
            count += 1
print(count)

 

Решение 2

a = set()
x = int(input())
for i in range(1, int(x ** 0.5) + 1):
    if x % i == 0:
        a.add(i)
        a.add(x // i)
print(len(a))

a = [1, 2, 98, 43, 89, 739]
x = 1052336
summa = 0
for i in a:
    if x % i == 0:
        summa += x // i
print(summa)

Обратим внимание, что если - делитель числа , то и - делитель числа . Очевидно, эти два числа находятся по разную сторону от (иначе, предположим, что они оба меньше, тогда чего явно не может быть, случай, когда оба больше - аналогичен). Таким образом, мы видим, что все делители разбиваются на пары, в которых один делитель меньше корня, а другой - больше. Отсюда понимаем, что делителей, меньших корня столько же, сколько и больших.

print(0)

А теперь представим, что мы не знаем математику, и попробуем решить это другим способом:

x = 3052336
sq = x ** 0.5
more = 0
less = 0
for i in range(1, x + 1):
    if x % i == 0:
        if i > sq:
            more += 1
        if i < sq:
            less += 1
print(more - less)

a = []
x = 2052336
for i in range(1, x + 1):
    if x % i == 0:
        a.append(i)
count = 0
n = len(a)
for i in range(n // 2):
    if a[i] * a[n - i - 1] == x:
        count += 1
print(n // 2, count)

Поскольку -й член данной последовательности можно записать в виде , посчитаем сумму геометрической прогрессии, поэтому искомым ответом является минимальное натуральное число , такое что делится на . Если кратно , вы можете рассмотреть, делится ли на вместо этого и в противном случае вы можете рассмотреть, делится ли на . Поэтому давайте определим целое число таким образом, что если кратно или в противном случае. Теперь достаточно найти минимальное натуральное число i такое, что делится на , т. е. такое что остаток от деления на равен . Если кратно , то кратно для любого положительного целого числа , поэтому его остаток деленное на никогда не будет равно . То же самое относится, когда кратно . Если ни одно из них не выполняется, то по теореме Эйлера выполняется (mod ).

Поэтому, вам достаточно рассмотреть лишь подсчитать функцию эйлера за и проверить все делители её значения. Потому что фактически в задаче вас просят найти показатель числа по модулю .

Заметьте, что, не прибегая к приведенному выше математическому наблюдению, вы можете предположить, что «если ответ не равен , тогда ответ будет довольно маленьким;

Маленьким значит не более . Поэтому вы можете рассмотреть первые значений.

Поэтому фактически в задаче всего лишь требуется подсчитать сумму геометрической прогрессии и написать перебор

Решение на С++

void solve() {
    int K;
    K = 999983;
    int cur = 10;
    for(int i = 0; i < 9 * K; ++i){
        if(7 * (cur - 1) % (9 * K) == 0){
            cout << i + 1 << "\n";
            return 0;
        }
        cur = (cur * 10) % (9 * K);
    }
    cout << "-1\n";
    return 0;
}

 

Решение на Python

k = 999983
ans = -1
s = 7
for i in range(10 ** 6):
    if s % k == 0:
        ans = i + 1
        break
    s = s * 10 + 7
print(ans)

count = 0
for x in "1234567890":
    count += (int("12" + "4" + x + "65") % 141 == 0)
    for y in "1234567890":
        count += (int("12" + y + "4" + x + "65") % 141 == 0)
        for z in "1234567890":
            count += (int("12" + y + z + "4" + x + "65") % 141 == 0)
print(count)

def summa(n):
    s = set()
    for i in range(1, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            s.add(i)
            s.add(n // i)
    return sum(s)
ans = 0
res = []
for i in range(1, 1000001):
    num = str(summa(i))
    if len(num) >= 3:
        if num[0] == ’1’ and int(num) % 100 == 38:
            ans += 1
print(ans)

ans = 0
for i in range(10):
    for j in range(10):
        # пустая звёздочка
        s = ’1’ + str(i) + ’38’ + str(j) + ’70’
        if int(s) % 11 == 0:
            ans += 1
        #односимвольная звёздочка
        for w in range(10):
            s1 = ’1’ + str(i) + ’38’ + str(j) + ’70’ + str(w)
            if int(s1) % 11 == 0:
                ans += 1
        #двухсимвольная звёздочка
        for w in range(10):
            for z in range(10):
                s2 = ’1’ + str(i) + ’38’ + str(j) + ’70’ + str(w) + str(z)
                if int(s2) % 11 == 0:
                    ans += 1
print(ans)

def is_prime(n):
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True
k = 0
for x in range(56846, 59034):
    if is_prime(x):
        k += 1
print(k)

from itertools import combinations_with_replacement


def prime(x):
    for i in range(2, int(x ** 0.5) + 1):
        if x % i == 0:
            return False
    return True


def count_del(x):
    ans = []
    for i in range(2, int(x ** 0.5) + 1):
        if x % i == 0:
            ans += [i]
            ans += [x // i]
    return sorted(list(set(ans)))


def check(a):
    ans = 1
    for i in range(len(a)):
        ans *= a[i]
        if ans > 512:
            return False
    return ans == 512


dels = count_del(512)
primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]
# Если скобок 9 штук и каждое альфа равно 1
minim = 2 ** 511
# Если скобок 9 штук и каждое альфа равно 1
t = 1
degrees = [2] * 9
for k in range(len(degrees)):
    t *= (primes[k] ** (degrees[k] - 1))
minim = min(minim, t)
# Все остальные случаи
                                                                                                     
                                                                                                     
for j in range(2, 9):
    for i in combinations_with_replacement(dels, j):
        if check(i):
            t = 1
            degrees = i[::-1]
            for k in range(len(degrees)):
                t = t * (primes[k] ** (degrees[k] - 1))
            minim = min(minim, t)
print(minim, *[i for i in count_del(minim) if prime(i)])

def count_del(x):
    ans = [1, x]
    for i in range(2, int(x**0.5)+1):
        if x % i == 0:
            ans += [i]
            if i != x // i:
                ans += [x//i]
        if len(ans) > 128:
            return ans
    return ans
for i in range(101010101, 1010101-1, -1):
    if len(count_del(i)) == 128 and i % 16 == 0:
        print(i, *sorted([i for i in count_del(i) if i % 2 != 0]))
        break

def divs(n):
    count = 0
    for i in range(1,int(n**0.5)+1):
        if n%i==0:
            count += 1
            if i!=n//i:
                count += 1
    return count
for x in range(5000000, 10000 - 1, -1):
    if divs(x) == 10:
        print(x)
        break