Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимости. —Каталог задач по Высшей математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимости.

Тема Математический анализ

28 Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимости.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#61876

Исследовать последовательность $fn(x)$ на равномерную сходимость на множестве $E$ :

√-- fn(x) = n(1− nx), E = [a,b],[a,b] ⊂ (0,+ ∞ )

Показать ответ и решение

Давайте сначала поймём, к чему поточечно сходится $fn$ на любом отрезке $[a,b]$ , лежащем строго внутри $(0,+ ∞ )$ .

f (x ) = n(1 − x1n) n

Нас интересует, к чему это стремится при каждом фиксированном $x$ при $n → ∞$ .

Давайте временно заменим $n$ на $y$ и посмотрим, к чему стремится $1 y(1− x y)$ при $y → ∞$ . Для этого сделаем замену $1 y = u$ , $u → 0$ :

u y(1− x 1y) = 1−-x-- u

И мы имеем в любой точке $x > 0$ неопределенность вида $00$ при $u → 0$ .

Применяем правило Лопиталя:

1 − xu − xulnx 1 lim ------ = lim --------= − ln x = ln -- u→0 u u→0 1 x

Следовательно, при $y → + ∞$ выполнено $1 1 y(1− xy) → lnx$ . А значит, и если мы будем брать только натуральные игреки, то есть обратно заменим $y$ на $n$ , то тоже, в частности, получим, что при любом $x > 0$ : $1 1 n(1− x n) → lnx$ .

Таким образом, имеем поточечную сходимость. Но будет ли она равномерной?

Мы исследуем на равномерную сходимость на любом отрезке $[a,b] ⊂ (0,+ ∞ )$ . На любом таком отрезке предельная функция $f(x) = ln 1x$ непрерывна, а также непрерывны допредельные функции $n√ -- fn(x) = n(1 − x)$ для любого $n$ .

Кроме того, при каждом фиксированном $x$ функция $n√ -- fn(x ) = n(1 − x)$ возрастает по $n$ : поскольку $√-- nx$ - убывает по $n$ при каждом фиксированном $x$ , следовательно, $√ -- n(1 − n x)$ - возрастает по $n$ при каждом фиксированном $x$ .

Следовательно, выполнено все условия теоремы Дини, а, значит, сходимость $f (x) n$ к $f(x)$ на каждом отрезке $[a,b] ⊂ (0,+∞ )$ - равномерная.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#61875

Исследовать последовательность $fn(x)$ на равномерную сходимость на множестве $E$ :

1 fn(x) = ------, E = [0,1] 1+ nx

Показать ответ и решение

Ясно, что в каждой фиксированной точке $x ∈ [0,1]$ , будем иметь: $fn(x) = 1+1nx → 0,n → ∞$ .

Таким образом, $fn$ сходится поточечно на $[0,1]$ к нулевой функции. Но будет ли эта сходимость равномерной?

Чтобы она была равномерной, по $sup$ - критерию должно быть выполнено, что $sup |fn(x)| → 0 x∈[0,1]$ .

Но при этом для каждого $n$ :

sup |fn(x)| ≥ fn(-1) =--1----= 1- x∈[0,1] n 1+ n 1n 2

То есть при каждом $n$ супремум $sup |f (x)| x∈[0,1] n$ уж как минимум равен $1 2$ . Значит, эта последовательность супремумов у нулю стремиться никак не может.

Таким образом, равномерной сходимости к нулю у $fn$ на $[0,1]$ нет.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#61874

Исследовать последовательность $fn(x)$ на равномерную сходимость на множестве $E$ :

nx fn(x) = -----2-2, E = [0,1] 1 + n x

Показать ответ и решение

Ясно, что в каждой фиксированной точке $x ∈ [0,1]$ , будем иметь: $fn(x ) = 1+nnx2x2 =-1x--2 → 0,n → ∞ n +nx$ .

Таким образом, $fn$ сходится поточечно на $[0,1]$ к нулевой функции. Но будет ли эта сходимость равномерной?

Чтобы она была равномерной, по $sup$ - критерию должно быть выполнено, что $sup |fn(x)| → 0 x∈[0,1]$ .

Но при этом для каждого $n$ :

1 sup |fn(x)| ≥ fn(1) = ---nn--- = 1- x∈[0,1] n 1+ n2 1n2 2

То есть при каждом $n$ супремум $sup |f (x)| x∈[0,1] n$ уж как минимум равен $1 2$ . Значит, эта последовательность супремумов к нулю стремиться никак не может.

Таким образом, равномерной сходимости к нулю у $fn$ на $[0,1]$ нет.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#61873

Исследовать последовательность $fn(x)$ на равномерную сходимость на множестве $E$ :

x fn(x) = -----2-2, E = [0,1] 1 + n x

Показать ответ и решение

Ясно, что в каждой точке $x$ отрезка $[0,1]$ $fn(x) → 0,n → ∞$ - поскольку в числителе будет какая-то константа, а знаменатель будет стремиться к бесконечности.

Но равномерная ли эта сходимость?

Поскольку

fn(x ) =-1---2nx--- 2n 1 + n2x2

И $1− 2nx + n2x2 = (1 − nx)2 ≥ 0$ , то, перенося $2nx$ в правую часть неравенства, получим, что для всех $n$ и для всех $x$ выполнено $2 2 1+ n x ≥ 2nx$ . Следовательно, при $x ∈ [0,1]$ и при всех $n$ будет $1+2nn2xx2 ≤ 1$ . Таким образом,

1 2nx 1 fn(x) = -------2-2 ≤ --- 2n1 + n x 2n

А поэтому $fn(x)$ будет сходиться равномерно к нулю на $[0,1]$ - ведь какое бы $𝜀 > 0$ нам ни дали, мы всегда можем найти такое $N$ , что при всех $n > N$ и при всех $x ∈ [0,1]$ $fn(x) < 𝜀$ - поскольку достаточно находить такое $N$ так, чтобы при всех $n > N$ $1- 2n < 𝜀$ . Тогда и $-1 fn (x ) ≤ 2n < 𝜀$ - абсолютно для всех $x$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#61872

Пусть $fn : [a,b] → ℝ$ - последовательность функций, дифференцируемых на $[a,b]$ , да причём так, что их производные $′ fn(x)$ - всюду непрерывны на $[a,b]$ .

Пусть $[a,b] fn ⇉ f$ . И пусть, кроме того, последовательность производных $′ fn$ тоже сходится равномерно на $[a,b]$ к некоторой функции.

Доказать, что тогда $f$ - дифференцируема, причём $f ′$ и будет пределом у последовательности производных $′ fn$ на $[a,b]$ .

Показать ответ и решение

Обозначим через $f∗$ ту функцию, к которой последовательность производных $f′n$ сходится равномерно на $[a,b]$ .

Поскольку нам по условию дано, что все производные $′ fn(x)$ - непрерывны всюду на $[a,b]$ , а сходимость $[a,b] f′ ⇉ f∗ n$ - равномерная, то по теореме о непрерывности равномерного предела непрерывных функций, предел у последовательности производных $∗ f$ - тоже всюду непрерывна на $[a,b]$ .

Следовательно, $f∗$ , как и всякая непрерывная на $[a,b]$ функция, будет интегрируемой по Риману на $[a,b]$ . Точно так же, поскольку по предположению все $′ fn$ - непрерывны на $[a,b]$ , они будут интегрируемы по Риману на $[a,b]$ .

Пусть $t$ - произвольная точка из $[a,b]$ . Тогда, поскольку $′[a,b] ∗ fn ⇉ f$ , то по теореме о почленном интегрировании функциональной последовательности, будем иметь:

∫ t ∫ t f∗(x)dx = lim f′n(x)dx a n→ ∞ a

Но по теореме Ньютона-Лейбница, $∫t a f′n(x)dx = fn(t)− fn(a)$ . Таким образом, получаем:

∫ t ∗ f (x)dx = nli→m∞ [fn(t) − fn(a)] a

Но при $n → ∞$ $fn(t) → f (t)$ , $fn(a) → f(a)$ , ведь $[a,b] fn ⇉ f$ , а значит есть как минимум сходимость поточечная.

Таким образом, получили соотношение

∫ t f ∗(x )dx = f (t)− f(a) a

Далее, поскольку мы потребовали, чтобы $f∗$ , то есть равномерный предел производных, была бы непрерывна на $[a,b]$ , то из этого следует, что интеграл с переменным верхним пределом, то есть $∫ t ∗ ℱ (t) = a f (x )dx$ - дифференцируема всюду на $[a,b]$ . Но тогда и правая часть, то есть $f(t)− f (a )$ - дифференцируема в каждой точке $t ∈ [a,b]$ . И мы доказали, первую часть нашего утверждения, а именно то, что $f$ , которая была равномерным пределом $fn$ - всюду дифференцируема на $[a,b]$ .

Давайте теперь в равенстве $∫ tf∗(x)dx = f(t)− f(a) a$ возьмём производные от левой и правой части и получим:

′∗ ′ f (t) = f(t)

Следовательно, производная для $f$ в каждой точке совпадает с равномерным пределом производных для $fn$ . И мы доказали, что $′ [a,b] ′ fn ⇉ f$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#61871

Верно ли, что если $E fn ⇉ f$ , $E gn⇉ g$ , то тогда $E fn ⋅gn ⇉ f ⋅g$ безо всяких дополнительных предположений про $f$ и $g$ ?

Показать ответ и решение

Это неверно. Давайте возьмём в качестве $fn(x) = x$ (при каждом $n$ ). Тогда, очевидно, $ℝ fn ⇉ x$ , поскольку у нас вообще нет зависимости от $n$ и $fn(x)$ не просто сходится, а вообще всюду равна предельной функции $f(x) = x$ .

Пусть $gn(x ) = 1n$ . Тогда ясно, что $ℝ gn ⇉ 𝒪$ ( $𝒪 (x )$ - тождественно нулевая на $ℝ$ функция). То что в каждой точке $x ∈ ℝ$ $g (x ) n$ сходится к нулю при $n → ∞$ - это очевидно. А то что сходимость равномерная по $ℝ$ , следует просто-напросто из того, что у нас нет никакой зависимости от $x$ . В таком случае разумеется поточечная и равномерная сходимость - это одно и то же.

Однако их произведение $x fn (x )⋅gn(x) = n$ не сходится равномерно на $ℝ$ к произведению $f(x) ⋅𝒪 (x ) = 𝒪 (x)$ , то есть к нулевой функции.

Действительно, равномерная сходимость $x n$ на $ℝ$ к нулевой функции по $sup−$ критерию эквивалентна тому, что $x sup |n| → 0,n → ∞ x∈ℝ$ .

Однако при каждом $n$ $x sxu∈pℝ |n| = + ∞$ , и, значит, не стремится ни к какому нулю при $n → ∞$ .

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#61870

Пусть $E fn⇉ f$ , $E gn ⇉ g$ . И пусть $f, g$ - ограничены на $E$ . Доказать, что тогда

E fn ⋅gn ⇉ f ⋅g

Показать ответ и решение

Поскольку в любой точке $x$ множества $E$ выполнено неравенство:

|fn(x)⋅gn(x) − (f(x)⋅g(x))| = |fn(x)⋅gn(x) − f(x)gn(x)+ f(x)gn(x) − f(x)g(x)| ≤

≤ |fn(x)− f(x)||gn(x)|+ |gn(x) − g(x)||f(x)|

Давайте теперь докажем такое полезное свойство: если $f E⇉ f n$ и $f$ - ограничена на $E$ , то и все $fn$ будут ограничены на $E$ :

|fn(x)| = |fn(x)− f(x) + f(x)| ≤ |fn(x)− f(x)|+ |f(x)|

Тогда переходя к супремуму по $E$ в этом неравенстве:

sxu∈pE |fn(x)| ≤ xsu∈pE [|fn(x)− f (x )|+ |f(x)|] ≤ sxu∈pE |fn(x) − f(x)|+ sxu∈pE |f(x)|

Продолжим тогда нашу оценку для произвольной точки $x ∈ E$ :

|fn(x)⋅gn(x) − (f(x)⋅g(x))| = |fn(x)⋅gn(x) − f(x)gn(x)+ f(x)gn(x) − f(x)g(x)| ≤

≤ |fn(x)− f (x)||gn(x)|+ |gn(x) − g(x)||f(x)| ≤

≤ |fn(x)− f(x)|C + |gn(x)− g(x)|C

Но тогда переходя к супремуму и вновь учитывая то, что супремум суммы не превосходит суммы супремумов:

sux∈pE |fn(x)⋅gn(x) − (f (x )⋅g(x))| ≤ sxu∈pE |fn(x) − f(x)|C + sux∈pE |gn(x)− g(x)|C

Осталось лишь заметить, что если $E fn ⇉ f$ , то по $sup$ -критерию $sxu∈pE|fn(x)− f(x)| → 0$ при $n → ∞$ , и точно так же если $E gn ⇉ g$ , то по $sup$ -критерию $sup |gn(x)− g(x )| → 0 x∈E$ при $n → ∞$ .

Таким образом, поскольку

sup |fn(x) ⋅gn(x)− (f(x) ⋅g(x))| ≤ sup|fn(x)− f (x )|C + sup |gn(x)− g(x)|C x∈E x∈E----- ------- x∈E----- ------- ◟ ◝→◜0 ◞ ◟ →◝0◜ ◞

То получится, что и $sup|fn(x)⋅gn(x) − (f(x)⋅g(x))| → 0,n → ∞ x∈E$ . Но тогда по $sup$ -критерию мы получаем, что $f ⋅g E⇉ f ⋅g n n$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#61869

Пусть $E fn⇉ f$ , $E gn ⇉ g$ . Доказать, что тогда

E fn + gn ⇉ f + g

Показать ответ и решение

Поскольку в любой точке $x$ множества $E$ выполнено неравенство:

|fn(x) + gn(x )− (f(x)+ g (x ))| ≤ |fn(x)− f(x)|+ |gn(x) − g(x)|

То и супремум от обеих частей по всему $E$ тоже удовлетворяет тому же неравенству:

sup |fn(x)+ gn(x) − (f (x)+ g(x))| ≤ sup[|fn(x )− f(x)|+ |gn(x)− g(x)|] x∈E x∈E

Но

sup[|fn(x) − f(x)|+ |gn(x)− g(x)|] ≤ sup|fn(x)− f(x)|+ sup|gn(x)− g(x)| x∈E x∈E x∈E

Поскольку супремум суммы не превосходит суммы супремумов.

Осталось лишь заметить, что если $E fn⇉ f$ , то по $sup$ -критерию $sup |fn(x )− f(x)| → 0 x∈E$ при $n → ∞$ , и точно так же если $E gn⇉ g$ , то по $sup$ -критерию $sup |gn (x )− g(x)| → 0 x∈E$ при $n → ∞$ .

Таким образом, поскольку

sup |fn (x )+ gn(x)− (f(x) + g(x))| ≤ sup|fn(x)− f (x)|+ sup |gn(x)− g(x)| x∈E x◟∈E----◝◜------◞ x◟∈E-----◝◜-------◞ →0 →0

То получится, что и $sup|fn(x)+ gn(x) − (f(x)+ g(x))| → 0,n → ∞ x∈E$ . Но тогда по $sup$ -критерию мы получаем, что $E fn + gn ⇉ f + g$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#61868

Верно ли, что если $fn$ сходятся поточечно к функции $f$ на отрезке $[a,b]$ , и все $fn$ - дифференцируемы на отрезке $[a,b]$ , то производные $′ fn$ будут на $[a,b]$ сходится поточечно к производной $f′$ ?

Показать ответ и решение

Это неверно. Рассмотрим, например, функциональную последовательность $fn(x) = xn$ . Эта последовательность функций сходится в каждой точке отрезка $[0,1]$ , причём предельной функцией будет $( { 0 при x ∈ [0,1) f(x) = ( 1, при x = 1$ .

И мы видим, что предельная функция $f(x)$ не дифференцируема в точке 1, потому что она в точке 1 даже не непрерывна.

Но все наши допредельные функции $fn(x)$ были для каждого $n$ всюду дифференцируемы на отрезке $[0,1]$ :

f′n(x) = nxn− 1

Значит, при поточечной сходимости, даже если все допредельные функции были всюду на отрезке дифференцируемы, то в пределе может получиться не всюду на отрезке дифференцируемая функция. Поэтому поточечный предел не обязан сохранять дифференцируемость, и в таком случае бессмысленно говорить о том, что мы можем поменять местами предельный переход по $n$ и взятие производной - в пределе никакой производной всюду на отрезке существовать и не обязано.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#61867

Верно ли, что если $fn$ сходятся поточечно к функции $f$ на отрезке $[a,b]$ , то $∫ ∫ ba fn (x )dx → ba f (x )dx$ ?

Показать ответ и решение

Это неверно - поточечной сходимости будет недостаточно. Рассмотрим в качестве примера функциональную последовательность

f (x ) = 2(n + 1)x(1− x2)n n

В силу того, что при $q ∈ [0,1)$ $n nq → 0$ при $n → ∞$ , будем иметь, что всюду на отрезке $[0,1]$ последовательность $fn(x)$ поточечно сходится к нулевой функции ( $2(n + 1)$ умножается на $2 n x(1 − x )$ , что не превосходит единицы.)

То есть можно записать, что $[0,1] fn → 𝒪,n → ∞$ ( $𝒪 (x )$ - тождественно нулевая на отрезке $[0,1]$ функция).

Но при этом

∫ 1 ∫ 1 2n ∫ 1 2 n (1− x2)n+1 1 fn(x)dx = 2(n + 1)x(1− x )dx = 2(n + 1) x(1− x ) dx = − 2(n + 1)--2n-+-2--|0 = 0 0 0

1 = 2(n + 1)------ = 1 2n + 2

Таким образом, для любого $n$ $∫ 1 0 fn(x)dx = 1$ , но для предельной функции $∫1 0 𝒪 (x)dx = 0$ (интеграл от нулевой функции равен нулю).

Таким образом, нельзя утверждать, что из поточечной сходимости $fn$ к $f$ на отрезке $[a,b]$ обязательно следует сходимость интегралов $∫ b a fn(x)dx$ к $∫ b a f(x)dx$ .

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел