Линейные диф. уравнения высших порядков —Каталог задач по Высшей математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Линейные диф. уравнения высших порядков

Тема Дифференциальные уравнения

01 Линейные диф. уравнения высших порядков

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дифференциальные уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#60951

Найти общее решение неоднородного уравнения

y′′ + y = 4 sin x

Показать ответ и решение

1. Решим сначала соответствующее однородное уравнение $y′′ + y = 0$ . Для него составляем характеристическое уравнение

λ2 + 1 = 0

Его корнями будут $λ1 = i,λ2 = − i$ . Следовательно, общее решение однородного имеет вид

z = C1cosx + C2 sin x

2. Мы видим, что правая часть нашего исходного неоднородного уравнения имеет вид

eax(Pn(x) cos bx+ Qm (x )sin bx )

где $a = 0,b = 1$ , $Pn = 0,Qm = 4$ . Поэтому частное решение неоднородного будем искать в виде

rax y1 = x e (Rl(x)cos bx+ Tl(x)sinbx)

где $Ql,Tl$ - многочлены с неопределенными коэффициентами степени $l$ , где $l = max {m, n}$ , $r$ - кратность $a+ ib$ как корня характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. Поскольку $a = 0,b = 1$ , а $0 + 1i$ является корнем нашего характеристического уравнения кратности 1, то $r = 1$ . $l$ должно быть максимальной степенью из $m$ и $n$ . В нашем случае $Pn$ - нулевой многочлен, $Qm$ - константа, поэтому $Tl$ и $Rl$ - константы.

Итого, частное решение неоднородного будем искать в виде

y1 = x (A cosx + B sinx) = Ax cosx + Bx sin x

$y ′= A cosbx − Ax sin x + B sin x+ Bx cos x 1$ ,
$′′ y1 = − A sin x− A sinx − Ax cosx + B cosx − Bx sin x$ . Чтобы найти $A,B$ , подставляем $y1$ в исходное неоднородное уравнение:

− A sin x− Asinx − Ax cosx + B cosx − Bx sinx + Ax cosx + Bx sin x = 4sinx

Приравнивая теперь коэффициенты при $sinx$ и $cos x$ в левой и правой части, получаем систему уравнений на $A$ и $B$ :

( { Bx − 2A − Bx = 4 п ри sin x ( Ax − Ax + 2B = 0 п ри cosx

Откуда $A = − 2$ , $B = 0$ . Таким образом, $y1 = − 2x cosx$ . Откуда общее решение неоднородного имеет вид:

Ответ: $y = − 2x cosx + C1 cosx+ C2sinx, C1, C2 = const$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#60950

Найти общее решение однородного уравнения

y′′′ − 4y′′ + 5y′ = 0

Показать ответ и решение

Составляем характеристическое уравнение

λ3 − 4λ2 + 5λ = 0

Его корнями будут $λ1 = 0,λ2 = 2 + i,λ3 = 2 − i$ . Таким образом, поскольку все эти корни кратности 1, а слагаемое $λx Ce$ для комплексных корней $a ± bi$ расписывается как