Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Два треугольника пересекаются по шестиугольнику , в котором
Найдите углы этих треугольников.
Подсказка 1
Обратите внимание, что есть два случая для пересечения треугольников.
Случай (стороны треугольника - тройки несмежных сторон):
В таком случае все углы треугольников легко находятся, как , где - два соседних угла шестиугольника.
Тогда получаем, что углы красного треугольника равны , а углы синего - .
Случай (один из углов шестиугольника совпадает с углом треугольника):
Заметим, что это единственное возможное положение в этом случае. Углы синего треугольника равны ; и .
Углы красного треугольника будут равны и .
и ; или и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
B неравнобедренном треугольнике проведены биссектрисы и . Известно, что и что радиус окружности, касающейся стороны и продолжений сторон и , равен 1. Найдите периметр треугольника
Источники:
Подсказка 1
Смотрите, у нас есть условие, что AA1/BB1 = AC/BC. Обратите внимание на треугольники AA1C и BB1C. Что можно про них сказать?
Подсказка 2
Хочется сказать что они подобны, но у них общий угол BCA не между двумя соответственными сторонами. Тогда это почти как 4 признак равенства треугольников, только подобия: если растянуть один из треугольников так, что там две стороны будут равны, то выйдет как раз 4 признак равенства! Что это будет означать?
Подсказка 3
Это значит, что либо угол AA1C = BB1C, но это значит, что ABC - равнобедренный, а так нельзя. Остается, что AA1C + BB1C = 180. Что тогда можно сказать про угол BCA?)
Подсказка 4
Он равен 60! А теперь попробуйте посчитать периметр, вспомнив про то, что отрезок касательной из C к нашей вневписанной окружности - это полупериметр)
Докажем, что . Для этого положим , и воспользуемся теоремой синусов.
Имеем:
откуда
С учетом условия это означает, что . Равенству противоречит условие задачи.
Поэтому , откуда и
Теперь найдем периметр треугольника . Пусть окружность с центром касается стороны в точке , а продолжений сторон и - в точках и соответственно.
Тогда и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах и неравнобедренного треугольника выбраны точки и соответственно. Биссектриса угла и серединный перпендикуляр к отрезку пересекаются в точке Известно, что Найдите длину отрезка
Подсказка 1
По условию треугольники AMN и MLC – равнобедренные, значит, ∠NMA = ∠BAC, а также ∠LMC = ∠BCA, что тогда можно сказать про величину угла NML? Также подумайте, как этот угол может нам помочь в дальнейшем решении.
Так как из условий следуют равенства и соответственно, то
Заметим, далее, что точка лежит на описанной окружности треугольника (и делит пополам дугу не содержащую ). Поэтому
с учётом того, что и лежат в одной полуплоскости относительно прямой заключаем, что - ортоцентр треугольника
Рассмотрим теперь треугольник Используя равенства
и равнобедренность треугольника нетрудно найти углы и Применив теорему синусов, получим откуда