Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Внутри окружности проведены две перпендикулярные хорды, пересекающиеся в точке точки и их середины. Прямая пересекает в точках и причём лежит между и Какие значения может принимать разность если
Источники:
Подсказка 1
Такс, у нас есть две хорды и их середины, есть еще и третья хорда, у которой мы тоже можем отметить середину! Какое доп.построение хочется сделать?
Подсказка 2
Да, мы знаем, что отрезок проведённый из центра окружности к середине хорды — перпендикулярен хорде, поэтому давайте проведём три таких отрезочка!(к каждой из хорд). Что можно сказать про полученный четырёхугольник OM₁PM₂, где O - центр окружности?
Подсказка 3
Верно, это прямоугольник! Тогда мы можем найти M₁M₂ из прямоугольного треугольника! Осталось понять, как от M₁M₂ прийти к исходной разности в вопросе задачи, учитывая, что M - середина AB!
Пусть центр окружности, — середина отрезка Поскольку отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды перпендикулярен этой хорде,
Заметим, что
т.к.
Далее, в четырёхугольнике три угла прямые, т.е. этот четырёхугольник — прямоугольник,
Тогда в прямоугольном треугольнике проведена высота на гипотенузу. По теореме Пифагора Так как катет есть среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции на неё, то Откуда получаем ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — центр описанной окружности, — точка пересечения медиан остроугольного треугольника Прямая, перпендикулярная , проходящая через точку пересекает отрезок в точке Касательная к описанной окружности треугольника в точке пересекает прямую в точке Найдите величину угла если а
Источники:
Подсказка 1
Нас просят найти какой-то угол и из условий нам дали значения каких-то углов. В таких задачах, где надо работать с углами, очень часто могут помочь вписанные четырёхугольники. Давайте попробуем найти такие, которые бы смогли перенести наши уголочки из условия в какие-то более удобные места.
Подсказка 2
Попробуйте посмотреть на GMKO и AOGL: они оба содержат части угла из условия LOK, а так же переносят их ближе к треугольнику AMC, а что мы можем сказать про угол ABC, можем ли мы его тоже перенести поближе к AMC?
Подсказка 3
Верно, ABC равен углу LAC, как угол между касательной и хордой, остаётся только внимательно присмотреться к треугольнику AMC и писать ответ.
Пусть — середина стороны поскольку — медиана, то точки лежит на
Четырёхугольник — вписанный, так как (первое равенство по условию, второе следует из того, что — серединный перпендикуляр к ), откуда
Четырёхугольник — вписанный, так как (первое равенство по условию, второе следует из того, что — радиус, а — касательная к описанной окружности треугольника ), откуда
Значит,
Первое равенство следует из суммы углов треугольника
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и перпендикулярны, а две другие равны и Найдите его площадь.
Источники:
Подсказка 1
Когда в задачах по геометрии даны перпендикулярные прямые, но явно не обозначена точка их пересечения, то часто бывает, что нужно продлить прямые до их пересечения. Попробуйте сделать это и в нашей задаче. Какие фигуры получатся?
Подсказка 2
Правильно, получатся два прямоугольных треугольника — с гипотенузой, равной а, и с гипотенузой, равной b. Обозначьте неизвестные стороны какими-нибудь буквами, не забывая, что перпендикулярные стороны равны друг другу. Как теперь выразить площадь четырехугольника?
Подсказка 3
Верно, как разницу площадей этих прямоугольных треугольников! Теперь у нас есть формула для площади, но в ней всё ещё присутствуют неизвестные стороны. Значит, нужно найти, как ещё данные a и b из условия связаны c длинами неизвестных сторон. Какую теорему о прямоугольных прямоугольниках мы знаем?
Подсказка 4
Теорему Пифагора! Распишите теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, немного преобразуйте и подставьте в формулу для площади!
Если то получаем прямоугольник, у которого противоположные стороны параллельны, а не перпендикулярны.
Пусть для определённости дальше Если то нужно будет в ответе поменять буквы местами, поэтому учтём это знаком модуля.
Первое решение.
Обозначим длину двух равных сторон через . Продолжим их до пересечения и обозначим длины двух получившихся коротких отрезков через и Площадь исходного четырёхугольника есть разность площадей двух прямоугольных треугольников: с катетами и и с катетами и . Поэтому
По теореме Пифагора
Поэтому
В итоге площадь многоугольника равна
Второе решение.
Из четырёх таких многоугольников можно сложить квадрат со стороной из которого вырезан квадрат со стороной Поэтому площадь одного многоугольника равна