Ошибка.
Попробуйте повторить позже
За время освоения космического пространства на различных орбитах скопилось по данным NASA около 300 тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства в ближайшем будущем может быть существенно осложнено всё возрастающей угрозой столкновения с космическим мусором. Согласно результатам исследований, удаление 3-5 крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.
Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите с большой полуосью равной 5000 км, малой - 2500 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Введем систему координат с началом отсчета в центре рассматриваемого эллипса, с осью абсцисс, направленной вдоль большой полуоси. Тогда уравнение траектории движения обломка запишется следующим образом: .
На некотором удалении по оси абсцисс находится межпланетная научная станция . С нее стартует летательный аппарат-захватчик, который движется по параболической траектории: . Он должен совершить маневр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.
Определите координаты точки касания указанных траекторий и угол, который образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к параболической траектории в начальный момент времени в точке .
Выразим из уравнений
функции в явном виде:
Найдём их производные:
Приравняем производные друг к другу:
Будем искать целые решения уравнения. Если такие есть, то они являются делителями свободного члена.
подходит. Преобразуем уравнение, поделив на , получим
Но поэтому подходит только . Подставляя в любое из исходных выражений, находим . Значит координаты точки касания .
При
получаем
Подставляем в производную и находим тангенс угла касательной в начальный момент:
координаты
угол или
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Функции и заданы формулами
где и — некоторые натуральные числа, причём
Чему могут быть равны числа и ?
Источники:
Условие равносильно выполнению равенства
Поскольку , и значения выражений и разной чётности, второе из них положительно и больше первого, то остаётся рассмотреть только четыре варианта:
1 | 8 | 11 | 23 | |
2024 | 253 | 184 | 88 | |
Соответствующие пары значений ( ) таковы: .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
и найдите сумму его корней, принадлежащих отрезку .
Источники:
Подсказка 1
Работать с произведением косинусов неудобно. Какие преобразования можно сделать, чтобы облегчить решение?
Подсказка 2
Воспользуемся формулами преобразования произведения в сумму и сделаем замену. А что если рассмотреть выражение как функцию?
Подсказка 3
Функция слева приобретет вид f(t) = 2t^2-1 + cos(2t). Исследуем же ее!
Подсказка 4
Какой является эта функция и где она монотонна?
Подсказка 5
Функция f возрастает на [0;1] и является четной. Если пристально посмотреть, какие же t нам подходят? А какие из них попадают в наш отрезок?
Пользуясь формулами преобразования произведения в сумму, получаем
Пусть , тогда левая часть уравнения равна . Функция возрастает на (так как ) >0 при ) и является чётной, причём . Следовательно, корнями уравнения на отрезке являются числа . Возвращаясь к переменной , находим
Так как
то на указанный отрезок попадают корни и . Их сумма равна .
.
Сумма корней равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите , если
и, кроме того, при всех целых значениях выполняются неравенства
Источники:
Подсказка 1
Попробуем как-то связать два неравенства из условия. Какие аргументы для этого можно подставить?
Подсказка 2
Нужно подставить такое аргументы, чтобы числа в неравенствах могли получаться как с помощью +4, так и с помощью +6…
Подсказка 3
Попробуем поработать с f(x), f(x+3), f(x+6), а также с f(x+2), f(x+4). К каким неравенствам можно прийти? Какой вывод из этого сделать? Пробуем прийти к определенности, то есть к равенству!
Подсказка 4
f(x+6) <= f(x+3) + 6 <= f(x) + 12. Аналогично попробуем использовать и второе условие, к каким выводам придем?
Подсказка 5
f(x+3) = f(x) + 6, f(x+2) = f(x) + 4, f(x+1)=f(x)+2. А теперь попробуем задать функцию! ;)
Отметим, что . По условию, с одной стороны,
а, с другой стороны,
Поэтому и, более того, все неравенства выше обращаются в равенства.
Поэтому и .
Таким образом, искомая функция - это функция при целых значениях .
Кроме этого, известны значения функции на отрезке .
Значит, .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции ?
Подсказка
Давайте подумаем, что нам даст факт того, что относительно какой-то точки график симметричен? Это значит, что если - это точка а, то f(x) - a - нечетная. Давайте тогда, попробуем найти такие а, что f(x) - a + f(-x) - a = 0(условие на нечетность). После того как мы это запишем, то получим то некоторое условие на а.
Покажем, что функция является нечётной. Действительно,
Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат, а график функции симметричен относительно точки .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Существует ли функция заданная на всей числовой оси такая, что
б) Существует ли такая функция, заданная для
Источники:
Пункт а, подсказка 1
Функция может принимать при разных абсциссах одни и те же значения, но бывает ли наоборот? Может ли функция при одной абсциссе иметь два значения?
Пункт а, подсказка 2
Такое сложное выражение внутри функции для абсцисс, может ли оно быть равно одному значению при подстановке разных x?
Пункт а, подсказка 3
Заметим, что в выражении «x - 1/x» есть переменная и обратная к ней, а что если в место переменной подставить сразу обратную, то есть (1/x) - 1/(1/x) = 1/x - x. Получилось, что-то очень похоже на изначальное выражение, может только поменять знак?
Пункт а, подсказка 4
Используя предыдущий факт, внимательно посмотрите на два равенства, получаемых при подстановке в функцию, например, x = 2 и x = -½. Придите к противоречию.
Пункт б, подсказка
Обратите внимание, что положительный x должен быть для f(x), а не для условия на f(x - 1/x).
а) Предположим, что такая функция существует. Тогда подстановкой и в условие задачи
получаем противоречие
б) Если существует, то снова возникает противоречие при с неоднозначностью Этот пункт проверяет лишь понимание, что положительный должен быть для , а не для условия на
а) нет
б) нет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Функция такова, что
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции
в точке .
Источники:
Подсказка 1
В аргументе функции стоит сложное дробно-линейное выражение от х, из-за этого трудно понять, как выглядит сама функция. Но с другой стороны, мы же понимаем, что можно сделать замену в этом аргументе так, чтобы нам стало удобнее работать с функцией. На руку играет то, что и в аргументе, и в правой части выражения в знаменателе стоит (х+1), то есть эти два выражения довольно сильно похожи.
Подсказка 2
Если получилось воспользоваться предыдущей подсказкой, то функция должна принять вид линейной. А многократное применение линейной функции — совсем не проблема:)
Подсказка 3
Понятно, что тангенс угла наклона касательной — это значение производной в соответствующей точке. А когда мы берем производную от функции, слагаемое-константа исчезает, поэтому в процессе многократного применения нашей функции за константой можно даже не следить.
Преобразуем выражение аргумента
Выполним замену Тогда , следовательно, для любого верно, что
Тем самым, мы показали, что функция имеет вид , где — некоторая постоянная, которая не зависит от , тогда
следовательно, для некоторой новой постоянной . Аналогично,
Осталось заметить, что тангенс угла наклона в точке 0 равен значению производной функции в точке 0, так что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Функция , определённая на действительных числах, принимает действительные значения. Известно, что для любых действительных и выполнено равенство . Найдите все такие функции .
Подсказка 1
Давайте подумаем. Обычно мы хотим, когда видим функциональные уравнения, подставить что-то удобное вместо y. Что здесь можно такое подставить, чтобы у нас получилось удобное уравнение? В каком бы виде мы бы хотели видеть это уравнение?
Подсказка 2
Если подставить y = 4x, то слева и справа будет f(x). Тогда мы сможем разбить наше уравнение на совокупность двух простых. Что либо f(x) = 0, либо f(4x) = 1. Значит ли это, что мы решили задачу?
Подсказка 3
А вот и нет! Ведь если у нас для любого x верно, что либо f(x) = 1, либо f(x) = 0, то не значит, что у нас возможны только такие функции. Это значит лишь то, что множество значений f равно 0 и 1. Поэтому для полного решения требуется доказать, что если f(x) = 0 в какой-то точке, то f(x) = 0 тождественно. Тогда переход, о котором говорилось выше, корректен.
Если при каком-то выполняется то для любого верно поэтому для любого выполняется
Если же для любого значения , то для любого должно быть выполнено
где после сокращения на получаем
Таких функции две: константа 0 и константа 1. ()
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Первое решение. Распишем косинус двойного угла
Получаем уравнения вида , где
Исследуем функцию
Вторая производная положительна при любом , следовательно первая производная — монотонно возрастающая функция. Тогда имеет не больше одного решения. Точка подходит. Также заметим, что при и при . А значит возрастает при и убывает при . Кроме того, функция четна.
Тогда уравнение может иметь решение только в случаях или . Решив эту совокупность, получим
Второе решение.
Левую часть уравнения преобразуем по формуле разности косинусов, правую — по формуле косинуса двойного аргумента:
В правой части применим формулу разности квадратов и введём обозначения:
Тогда наше уравнение запишется в виде
Перенесём всё в правую часть и вынесем множитель
Ясно, что выражение в скобках строго больше 1 в виду неравенства
Значит, при уравнение решений не имеет, то есть оно может иметь решения только при или
Проверяем эти значения подстановкой в уравнение и убеждаемся, что при этих значениях уравнение верно.
Делаем обратную замену и получаем ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Функция при всех действительных удовлетворяет равенству
Найдите значение
Подставим и в равенство. Получим систему
Решив которую, получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите количество функций для которых верно для всех .
Источники:
Возьмем какое-нибудь число Тогда возможны два варианта:
1. Если то и
2. Предположим Тогда Иначе
(а) Если
(b) Если
И так как то
Таким образом, для любого либо либо есть три различных числа таких, что
При этом любая функция с таким свойством подходит. Тогда найдем число функций с необходимым свойством.
1. Нет ни одной тройки элементов, что Значит, для всех чисел верно Такая функция одна.
2. Есть одна тройка элементов, что Выбрать тройку можно способами. При этом есть два способа задать функцию в тройке. Итого функций.
3. Есть две тройки элементов, что Выбрать первую тройку можно способами, остальные три элемента образуют вторую тройку. Но варианты, в которых выбрали в первую тройку и выбрали все кроме одинаковые. То есть способов разбить элементы на две тройки. При этом в каждой тройке есть два способа задать функцию. Итого функций.
Всего число функций равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана функция , определенная на множестве целых чисел и принимающая целые значения.
Известно, что и для любого целого выполняются неравенства
Найдите .
Подставим во второе неравенство
Несколько раз применяли второе неравенство.
Тогда получаем:
Такое возможно, только если стоит знак равенства. Тогда в переходах тоже был знак равенства. Из этого следует, что
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
ОДЗ:
Используем формулу
Заметим, что корень - подходит. Докажем, что других нет, используя монотонность. Пусть
Тогда для доказательства, что она монотонная будем использовать производную.
Докажем, что производная положительная, т.е. докажем следующую оценку при данных ограничениях:
Оценим правую часть:
Тогда правая часть не больше
Оценим левую часть:
при Значит хочется доказать, что (одну единицу мы взяли для оценки косинуса), т.к. тогда если это верно, то верно что и левая часть больше правой.
Доказательство:
Ввиду ограничения на получаем:
Подставим во второй множитель последнего неравенства:
Значит при всех верно что
Тогда функция монотонная и имеет один корень
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения , если и удовлетворяют условию
Подсказка 1
В явном виде из неравенства в условии x + 2y никак не выразить. Тогда давайте считать, что x + 2y принимает какое-то параметрическое значение a. Что в таком случае должно выполняться для системы из выражений x + 2y = a и 3x²-2xy+4y²≤5?
Подсказка 2
Данная система должна иметь решения, чтобы a существовало. Тогда как мы можем получить ограничения на a?
Подсказка 3
Если из уравнения x + 2y = a выразить 2y и подставить в наше неравенство из условия, то мы получим квадратное неравенство от x, которое должно иметь решения. Подумайте, какие в таком случае возникают ограничения на a.
Обозначим , т.к. явно из не получить. Тогда нужно оценить параметр , чтобы получить ответ. Мы получили систему:
Следовательно, нужно найти наименьший и наибольший , при которых система имеет решения. Выразим из первого уравнения и подставим во второе:
Преобразуем второе уравнение:
Данное неравенство имеет решения тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен:
откуда
Наименьший , наибольший
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что при
Подсказка 1
Чем мы пользуемся, когда хотим доказать какое-то утверждение для произвольного n ∈ ℕ ?
Подсказка 2
Индукцией! Давайте тут её применим. Записываем базу и начинаем работать с шагом индукции. Пусть для n - 1 всё работало, рассматриваем n. И что нужно доказать, чтобы сделать вывод, что f_n(x) > 0 во всех точках х из интервала?
Подсказка 3
Нужно доказать, что минимум f_n(x) > 0! Пусть минимум достигается в точке x₀, тогда как будет вести себя функция в окрестности точки x₀? Что мы можем сказать про f'(x₀)?
Подсказка 4
Конечно, f'(x₀) = 0! Тогда можем посчитать производную в точке x₀ и постараться упростить это выражение (вспомните про телескопы!) Но попробуйте не в лоб складывать косинусы, а ещё на кое-что домножить, чтобы потом воспользоваться другой формулой
Подсказка 5
Предлагается домножить на sin(x₀/2) (≠ 0, что важно!) и ещё на 2, чтобы потом не пришлось писать 1/2, когда пользуемся формулой sinα ⋅ cosβ.
Подсказка 6
Расписываем и сокращаем, получаем короткую формулу для 2 ⋅ sin(x₀/2) ⋅ f'_n(x₀) и это равно 0 ⇒ .... (подумайте, зачем нам надо было sin(x₀/2) ≠ 0). И вот мы знаем, что для n - 1 f(x) было > 0, что тогда нам хотелось бы показать, чтобы для n f(x) тоже было > 0 ?
Подсказка 7
Хотим, чтобы слагаемое, которое добавляем к f_{n-1} для получения f_n, было ≥ 0. У нас было sin((n + 1/2)x₀) = sin(x₀/2), а чему равна разность этих аргументов?
Подсказка 8
Она равна n ⋅ x₀! Тогда мы можем расписать наш "добавочный" sin(nx₀) как синус разности аргументов! А чему это будет равно? Чтобы это понять, подумайте, как соотносятся косинусы тех аргументов, если их синусы равны
Подсказка 9
Косинусы будут равны по модулю! Тогда наш sin(nx₀) будет равен либо 0, либо 1/n ⋅ sin(x₀) > 0! Победа, мы доказали шаг индукции, а значит доказали, что f(x) > 0 для любого х!
Применим индукцию по . При неравенство очевидно. При получаем . Ясно, что и при
Предположим, что при . Покажем, что тогда при . Пусть — точка отрезка , в которой функция принимает минимальное значение. Предположим, что , причём и . Тогда . Ho
Докажем тождество
Пусть сумма косинусов равна . Домножив на получим
Поэтому в силу тождества , а значит, . Далее,
Полученное выражение равно или . Таким образом, , а значит, . Получено противоречие.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
Источники:
Подсказка 1
Да уж, ну и задачка… Интегралы мы пока брать не умеем. В таком случае используем тот способ исследования функции, который нам доступен на школьном уровне. Давайте возьмем производную.
Подсказка 2
Посмотрите чему равна производная при x > 1.
Подсказка 3
Если вы правильно всё посчитали, то при x > 1 производная равная нулю. Зная данную особенность, с лёгкостью нарисуйте график функции и найдите площадь под графиком!
Легко заметить, что функция на отрезке является константой, ведь её производная
тождественно равна нулю при потому что
Таким образом, нам просто надо посчитать площадь прямоугольника:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Обозначим Найдите, чему равны минимум и максимум функций:
Источники:
Пункт а), Подсказка 1
Понятно, что если изначальное выражение обозначить за f(x), то теперь у нас выражение f(x³). Изменится ли минимум и максимум такой функции?)
Пункт б), Подсказка 1
Теперь попробуйте рассмотреть выражение f(-x). Оно будет почти таким же, как наше выражение, и задача решится)
Введём обозначение
a) Имеем . Величина пробегает все числовые значения, значит, принимает такие же значения, как
б) Имеем , то есть , значит, эта функция принимает значения от до
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана строго возрастающая функция (где — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению для любых . Найдите все значения, которые может принимать .
Пусть . Подставим в соотношение . Получим . Поскольку функция является строго возрастающей, понимаем, что
То есть , откуда . При этом , иначе мы бы получили . Тогда . Далее несложно понять, что , откуда .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существуют ли такие функции и что для любых действительных выполняется равенство
Ответ обоснуйте.
Источники:
Подсказка 1
Для начала заметим, что в левой части функции f и g принимают в себя переменную x, а правая часть от икса не зависит. Это значит, что можно выбрать любой икс (например, x = 0) и рассматривать новые функции (F(y) и G(z)) уже от одной переменной
Подсказка 2
Не всегда функции, которые принимают в себя переменную, зависят от неё. Подумайте, могут ли наши новые функции быть константами?
Подсказка 3
Хотя бы одна из функций уж точно не является константой! Не умаляя общности, можно считать что это G(z). Тогда существуют такие различные z1 и z2, что G(z1) != G(z2). Подставив z1 и z2, получим, что F(y) = G(z1) + |y-z1| и F(y) = G(z2) + |y-z2|. Может ли это быть правдой?
Подсказка 4
Мы получаем, что |y-z1| - |y-z2| = G(z2)- G(z1). Но ведь правая часть это просто некая константа. Выполняется ли это равенство ДЛЯ ЛЮБОГО y?
Предположим, что существуют.
Обозначим
Тогда из условия получаем
Если обе функции являются константами, то левая часть равенства является константой, а в правой можно получать разные значения при разных
Тогда хотя бы одна из функций не равна тождественно константе, пусть это То есть существуют такие что
Подставляем в уравнение:
Получаем
При имеем
При имеем
Получается, что
Противоречие с тем, что
Следовательно, таких функций не существует.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана строго возрастающая функция (где — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению для любых Найдите все значения, которые может принимать
Источники:
Подсказка 1
Смотрим на условие задачи внимательно и ищем, за что зацепиться: "функция строго возрастающая", "числа целые неотрицательные", ещё и равенство для функции без всяких степеней, ещё и единичка прибавляется с одной стороны... Мы видим, что правая часть равенства из условия при увеличении m на 1 увеличивается ровно на 1 (эта идея возникает из возрастания функции и целых значений), тогда имеет смысл посмотреть, а как в таком случае меняется левая часть?
Подсказка 2
Если мы оставим n таким же, а m увеличим на 1, то видим, что левая часть изменилась ровно на 1, а, значит, f(n + f(m+1)) = f(n + f(m)) + 1. То есть слева аргумент функции "почти" увеличился на 1 (на самом деле увеличился на 1 аргумент функции внутри аргумента нашей функции:)), а справа увеличилась на 1 сама часть, вне функции... А вспомним-ка про возрастание функции и применим f(m+1) >= 1 + f(m).
Подсказка 3
Теперь мы должны прийти к тому, что вместо неравенства должно выполняться равенство f(m + 1) = f(m) + 1 для любого целого неотрицательного m.
Подсказка 4
Мы уже связали f(m) и f(m+1), остаётся лишь найти f(0), чтобы стартовать от этого значения. Попробуйте подставить в условие самые базовые значения переменных - нули - и найдите f(0).
Подсказка 5
Теперь окончательно получается f(m) = m + 1. Остаётся найти f(2023) и написать ответ!
Первое решение.
Так как функция строго возрастает, то
Но по условию правая часть равна и левая часть равна значит, в обоих неравенствах должно достигаться равенство, то есть при увеличении аргумента на 1, значение функции тоже увеличивается ровно на 1:
Остаётся найти Для этого в исходное условие подставим и получим
В итоге для любого получаем откуда
Второе решение.
Подставим Получаем
После подстановки получаем Тогда где Заметим, что при ведь иначе Итак,
После подстановки получаем Поэтому значения функции на концах отрезка являются двумя последовательными натуральными числами.
По условию функция строго возрастает, а значит, на отрезке не должно быть других целых точек помимо и так как в противном случае значения в этих точках совпадали бы с или что противоречило бы строгому возрастанию. Тогда откуда получаем
Итак, откуда для любого получаем
В итоге