Тема 14. Задачи по стереометрии
14.16 Угол между плоскостями
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#41318

Докажите теорему косинусов для трехгранного угла:

Косинус плоского угла ϕ  трехгранного угла равен произведению косинусов двух других плоских углов α  и β  трехгранного угла, сложенному с произведением синусов этих углов на косинус двугранного угла ϕдв.  при противолежащем ему ребре:

cosϕ = cosα cosβ +sinαsinβcosϕдв.
Показать ответ и решение

Пусть дан трехгранный угол SABC  , ∠BSC = α  , ∠ASC = β  , ∠ASB = ϕ  . Двугранный угол при ребре SC  равен ϕдв.  .

PIC

Выберем точки A  , B  и C  на ребрах трехгранного угла таким образом, чтобы SC = 1  , AC ⊥ SC  , BC ⊥ SC  . Тогда ∠ACB  = ϕдв.  .

AC = tgβ, BC  =tgα,

AS = c1osβ, BS =  co1sα-  ⇒

   2    2     2                  --1--  --1--  --2cosϕ--
AB  = AS + BS  − 2⋅AS ⋅BS ⋅cosϕ = cos2α + cos2β − cosαcosβ,

AB2 = AC2 +BC2 − 2⋅AC ⋅BC ⋅cosϕдв. = tg2α+ tg2β− 2cosϕдв.tgα tgβ

Из последних двух равенств, применяя формулы tg2x = -1--− 1
      cos2x  и      sinx
tgx = cosx  , получаем

  1      1      2cosϕ      1         1       2cosϕ  sinαsinβ
cos2α-+ cos2β − cosαcosβ = cos2α-− 1+ cos2-β − 1−---coдsвα.cosβ----  |⋅cosα cosβ

cosϕ= cosαcosβ+ sin αsinβ cosϕдв.
Ответ: Доказательство

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!