Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Найдите многочлен наименьшей положительной степени с целыми коэффициентами, корнем которого является число
б) С помощью пункта (а) найдите где
Ответ представьте в виде где и — целые числа.
Источники:
Подсказка 1
У нас иррациональное число. Разве может оно быть корнем многочлена степени 1 с целыми коэффициентами?) А вот у многочлена степени 2?
Подсказка 2
Для второй степени придумывается пример. А вот можно сделать с пунктом б: попробуйте выделить из этого многочлена наш пример из пункта а). Так будет проще посчитать итоговый ответ.
а) Так как число не рациональное число, то оно не может быть корнем многочлена степени с целыми коэффициентами, значит его степень хотя бы Многочлен удовлетворяет условию задачи.
б) Заметим, что остаток при делении на равен Тогда для некоторого многочлена Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сократите дробь
В результате сокращения степени многочленов в числителе и знаменателе должны уменьшиться.
Источники:
Подсказка 1
Чтобы упростить дробь, мы должны сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Какой алгоритм мы знаем для нахождения НОД двух чисел?
Подсказка 2
Давайте применим алгоритм Евклида для числителя и знаменателя. Найдите остаток от деления знаменателя на числитель. Это можно сделать делением «уголком».
Подсказка 3
Если сделать всё правильно, то остаток будет равен -14x⁴-7x²+49. Теперь выполните тот же алгоритм для нашего числителя и остатка и будем его продолжать, пока одно из выражений не станет равным 0, оставшееся выражение и будет НОД числителя и знаменателя. Осталось только сократить на него.
Найдем наибольший общий делитель многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, используя алгоритм Евклида.
Для этого поделим с остатком знаменатель на числитель:
В результате деления получили остаток Теперь числитель (который сейчас выступал в роли делителя) поделим (например, «уголком») на остаток:
Далее надо опять разделить делитель на остаток. В этот раз остаток от деления оказывается равным нулю:
Это означает, что многочлен является искомым наибольшим общим делителем числителя и знаменателя исходной дроби и он может быть «вынесен за скобки» (чтобы избежать появления дробных коэффициентов, будет удобнее использовать многочлен
Итак,