Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Клетки кубической таблицы (то есть маленькие кубики) пронумеровали по порядку числами от 1 до 343. (Сначала нумеруются клетки верхнего слоя: в первой строке слева направо от 1 до 7, в следующей от 8 до 14, и так далее до 49. Далее в таком же порядке нумеруются Клетки второго слоя и т. А.) После этого из таблицы удалили несколько непересекающихся кубов , а все оставшиеся числа сложили. Чему может равняться остаток от деления полученной суммы на 8 ?
Источники:
Подсказка 1
Попробуем выразить числа на удаленном кубе через переменную. Так мы сможем посчитать их сумму.
Рассмотрим произвольный вырезаемый куб . Если наименьшее число обозначить , то остальные числа будут , . Значит, их сумма , то есть имеет остаток 4 от деления на 8. Значит, вырезание кубиков либо сохраняет суммарный остаток от деления на 8, либо изменяет его на 4. Осталось узнать, чему этот остаток равнялся изначально. Сумма чисел от 1 до 343 равна их среднему арифметическому на их количество 343. 172 делится на 4 , но не на 8 , а 343 нечётно, поэтому исходный остаток равен 4.
0 или 4
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть , где - натуральные числа. Докажите, что ! делится на произведение
Источники:
Подсказка 1
Мы знаем, как представить n в виде суммы. Попробуем представить n! в виде произведения, используя данные о сумме.
Давайте для начала докажем вспомогательную лемму: произведение подряд идущих чисел делится на
Заметим, что количество способов выбрать человек из равно
Но количество способов - целое число, поэтому числитель делится на знаменатель. Лемма доказана.
Так как то можно представить в виде произведения подряд идущих чисел на следующих чисел на последних чисел:
Произведение подряд идущих чисел делится на поэтому делится на произведение факториалов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каком наибольшем множество можно так покрасить в синий и красный цвета, чтобы произведение двух любых (в том числе одинаковых) чисел одного цвета имело другой цвет?
Источники:
Подсказка 1
Попробуйте придумать число, которое вот вообще не получится нормально покрасить ни в один из цветов) Тогда сразу ясно что n меньше этого числа.
Подсказка 2
Удобнее всего строить это число на основе лишь одного простого числа - почти все делители его будут известны из цвета этого простого числа)
Подсказка 3
Докажите, что 243 вообще нельзя раскрасить. А дальше придумайте раскраску на n = 242. Удобнее всего раскрасить числа так, чтобы произведения были либо достаточно маленькие, либо уже очень большие)
Докажем, что число не может быть покрашено. Действительно, пусть например, синее, тогда красное, синее, красное. Заметим, что не может быть ни красным, ни синим: если красное, то в пример входят три красных числа, а если синее, то в пример входят три синих числа.
Пример. Числа от до покрасим синим, числа от до — красным, числа от до — снова синим.