Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Двое играют в карточную игру. У каждого есть колода из 30 карт. Каждая карта красная, зелёная или синяя. По правилам красная карта сильнее зелёной, зелёная сильнее синей, а синяя сильнее красной. Карты одного цвета равны. Колода каждого игрока перед началом партии перемешивается и кладётся перед ним рубашкой вверх. После этого оба открывают по верхней карте своей колоды. Если карты разного цвета, то выигрывает тот, чья карта сильнее. Если карты одинаковые, то они уходят в сброс, а игроки открывают ещё по одной карте - и так до тех пор, пока карты не окажутся различными. Если же обе колоды кончились, а победитель не выявлен, объявляется ничья.
Известно, что у первого игрока в колоде по 10 карт каждого цвета. Второй игрок имеет право взять любую колоду из 30 карт. Может ли он подобрать колоду так, чтобы вероятность его выигрыша была больше 1/2?
Источники:
Рассмотрим колоду, в которой одна синяя карта, а все остальные красного цвета. Найдём в этом случае вероятность выигрыша второго игрока. Пусть вероятность выигрыша, когда у первого игрока красных карт, зелёных, синих, а у второго одна синяя и все остальные красные (при условии ). Также пусть - вероятность выигрыша, когда у второго игрока все карты красные.
Легко видеть, что
при (если у первого выпала зелёная, то второй выиграл, если синяя, то проиграл, если красная, то игроки потратили по одной красной карте и продолжили игру). Ясно также, что (в этом случае будет ничья). Отсюда по индукции получаем, что при и .
Аналогично
(Здесь мы рассматриваем всевозможные пары ходов: одна из карт первого и одна из такого же количества карт второго. Если у первого выпала зелёная, то второй выиграет во всех случаях, кроме одного; если красная, то второй либо выкладывает синюю и побеждает, либо выкладывает красную и попадает в аналогичную игру с меньшим числом карт; если у первого синяя, то второй имеет шанс на выигрыш, только если выложит синюю и попадёт в новую игру со всеми красными). Кроме этого, .
Легко проверить (догадаться сложнее... можно, например, угадать формулу, вручную посчитав вероятности для малых ), что эти равенства задают формулу
при . Тогда
при всех , в том числе и при .