Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для правил, описанных в задании 19 известно, что .
Петя сделал неудачный ход и после этого проиграл игру (было сделано ещё какое-то неизвестное количество ходов). Найдите наибольшее значение, которое могло принимать , после неудачного первого хода Пети.
Давайте рассмотрим 3 случая для этой задачи:
1) нечетно
2) четно, а не является степенью
3) — степень
Если нечетно, единственный ход - вычесть нечетный делитель (поскольку все делители нечетные). Делая это, мы получим четное число, которое не является степенью 2 (случай 2). Если является делителем , то также должен быть кратным , и так как нечетно, то не может быть степенью числа .
Если четно и не является степенью 2, это означает, что имеет нечетный делитель. Вычитая этот нечетный делитель, мы получим нечетное (случай 1).
Теперь давайте покажем, что вычитание нечетного делителя при каждом движении приводит к выигрышу. Простые числа проигрывают. Поскольку каждое простое число либо нечетно либо равно , стратегия дать другому игроку нечетное число работает, потому что оно либо будет простым (другой игрок проиграет), либо ваш соперник сделают ход и даст вам другое четное число, которое не является степенью . Вы можете продолжать этот процесс, потому что вы никогда не получите проигрышный номер, а поскольку игра должна заканчиваться после конечного числа ходов, ваш противник всегда должен проигрывать.
Итак, мы доказали, что нечетные числа проигрывают, а четные числа, которые не являются степенями , выигрывают.
Что делать, если - это степень ? Вы можете сделать две вещи за один ход, уменьшить вдвое или сделать четным числом, которое не является степенью (мы доказали, что это выигрышная позиция для другого игрока).
Единственный оптимальный ход - уменьшить вдвое, сделав его еще одной степенью 2. Игроки продолжают в
том же духе, пока один из них не получит 2, что является простым числом, так что он проигрывает. Если
четное, выигрывает Петя, в противном случае выигрывает Вася.
19.5) В задаче фактически просят найти наибольшее простое не превышающее 100. Ответ: 97
20.5) Получить ответ можно либо перебором начиная от 22, либо после полноценного решения задачи разбором всех
случаев. Ответ: 22
21.5) Следует провести полноценные рассуждения об анализе выигрышных и проигрышных позиций. Ответ: 100002.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!