Давайте рассмотрим 3 случая для этой задачи:

1) нечетно

2) четно, а не является степенью

3) — степень

Если нечетно, единственный ход - вычесть нечетный делитель (поскольку все делители нечетные). Делая это, мы получим четное число, которое не является степенью 2 (случай 2). Если является делителем , то также должен быть кратным , и так как нечетно, то не может быть степенью числа .

Если четно и не является степенью 2, это означает, что имеет нечетный делитель. Вычитая этот нечетный делитель, мы получим нечетное (случай 1).

Теперь давайте покажем, что вычитание нечетного делителя при каждом движении приводит к выигрышу. Простые числа проигрывают. Поскольку каждое простое число либо нечетно либо равно , стратегия дать другому игроку нечетное число работает, потому что оно либо будет простым (другой игрок проиграет), либо ваш соперник сделают ход и даст вам другое четное число, которое не является степенью . Вы можете продолжать этот процесс, потому что вы никогда не получите проигрышный номер, а поскольку игра должна заканчиваться после конечного числа ходов, ваш противник всегда должен проигрывать.

Итак, мы доказали, что нечетные числа проигрывают, а четные числа, которые не являются степенями , выигрывают.

Что делать, если - это степень ? Вы можете сделать две вещи за один ход, уменьшить вдвое или сделать четным числом, которое не является степенью (мы доказали, что это выигрышная позиция для другого игрока).

Единственный оптимальный ход - уменьшить вдвое, сделав его еще одной степенью 2. Игроки продолжают в том же духе, пока один из них не получит 2, что является простым числом, так что он проигрывает. Если четное, выигрывает Петя, в противном случае выигрывает Вася.

19.5) В задаче фактически просят найти наибольшее простое не превышающее 100. Ответ: 97

20.5) Получить ответ можно либо перебором начиная от 22, либо после полноценного решения задачи разбором всех случаев. Ответ: 22

21.5) Следует провести полноценные рассуждения об анализе выигрышных и проигрышных позиций. Ответ: 100002.