Пусть средний балл в школе №1 равен средний балл в школе №2 равен а количество учащихся в первой школе — Тогда количество учащихся во второй школе равно

а) Пусть такое возможно. Суммарный балл до перехода учащегося из школы №1 в школу №2 былл После перехода учащегося средний балл вырос в два раза, то есть стал а количество учащихся стало Тогда суммарный балл после перехода учащегося стал Посмотрим, на сколько уменьшился суммарный балл:

Так как по условию, то то есть Так как каждый учащийся набрал натуральное число баллов, то суммарный балл после перехода учащегося в школу №2 должен был уменьшится на положительное число. Противоречие.

б) Пусть учащийся, который перешёл из школы №1 в школу №2 набрал баллов. Так как средний балл в школе №1 вырос на то он стал при этом количество учащихся стало на 1 меньше, то есть Во второй школе количество учащихся стало а средний балл стал на 10% больше, то есть Суммарный балл в первой школе равен сумме баллов учащегося, который перешел во вторую школу и суммарному баллу в первой школе после перехода этого учащегося, то есть

Так как — натуральное число по условию, то — натуральное число, а значит, и — натуральное число. Тогда

Аналогично

По условию Тогда Так как количество баллов каждого учащегося — натуральное число, то делится на 10. Так как то

Противоречие, так как средний балл по условию — целое число.

в) По условию — целое число. Значит, По пункту б значит, Пусть Из пункта б:

Подставим

Значит, делится на 5, при этом по доказанному ранее Тогда или

Пусть Тогда

По условию средний балл — целое число, значит, такой вариант невозможен.

Пусть Тогда

По условию средний балл — целое число, значит, такой вариант невозможен.

Значит, Тогда имеем уравнение

Приведём пример, в котором

Если то средний балл в школе №1 равен Пусть у перешедшего учащегося было 18 баллов, у оставшегося в школе №1 — 22 балла. Тогда средний балл до перехода в школе №1 был равен После перехода учащегося с 18 баллами средний балл в школе №1 стал равен

Пусть в школе №2 до перехода учащегося из школы №1 было 49 учащихся с баллом 3. Тогда средний балл в школе №2 был 3. После перехода учащегося из школы №1 средний балл стал равен