а)

Значит, такого не существует.

б)

Пусть Тогда Проверим, что подойдёт:

в) Пусть натуральное число при делении на 2, 3, 8, 23 даёт остатки и соответственно. Тогда — наибольшее целое число, не превосходящее которое делится на 2, — наибольшее целое число, не превосходящее которое делится на 3, — наибольшее целое число, не превосходящее которое делится на 8, — наибольшее целое число, не превосходящее которое делится на 23. Значит,

По условию

Остаток может принимать два значения (0 или 1), остаток может принимать три значения (от 0 до 2), остаток — 8 значений (от 0 до 7), остаток — 23 значения (от 0 до 22). Заметим, что если мы знаем остаток при делении на 8, то есть то остаток при делении на 2, то есть однозначно определяется. Покажем это. Пусть Если — чётное, то число тоже чётное, а значит, Если нечётное, то тоже нечётное, а значит,

Таким образом, выражение а, следовательно, и число может принимать не более, чем значения (3 варианта для 8 вариантов для 23 варианта для ).

Покажем, что каждый из 552 вариантов можно получить.

Так как выражение делится на 23, то имеет остаток при делении на 23.

Покажем, что число делится на 8, то есть число делится на 2. Если — нечётное число, то есть 1, 3, 5 или 7, то Тогда делится на 2. Если — чётное число, то есть 0, 2, 4 или 6, то Тогда делистя на 2. Значит, делится на 8. Тогда выражение тоже делится на 8. Значит, число имеет остаток при делении на 8. Если — нечётное, то нечётное и Если — чётное, то чётное и Тогда при делении на 2 имеет остаток

Наконец,

Так как выражение делится на 3, то число при делении на 3 имеет остаток

Таким образом, каждый из 552 различных вариантов однозначно определяет Таким образом, всего 552 различных