1) Пусть амплитуда колебаний равна , – жёсткость пружины, – масса шарика, – смещение груза от положения равновесия в искомые моменты. Так как первоначально нить отклонена в положение нерастянутой пружины, то выполнено равенство:

Если шарик совершает колебаний по закону:

где – циклическая частота колебаний.
То ускорение меняется по закону:

Пусть модули ускорений равны в моменты и . Тогда выполнено равенство:

Тогда

Следовательно

Запишем второй закон для шарика, в проекции на вертикальную ось

Тогда

2) Скорость изменяется по закону:

Тогда скорости в эти моменты равны и тогда кинетические энергии, которые находятся по формуле:

тоже равны.
3) Максимальное отклонение пружины от положения недеформированной пружины равно , тогда максимальная потенциальная энергия пружины равна:

А максимальная кинетическая энергия груза:

где – максимальная скорость груза. Так как

то

и искомое соотношение: