№26 Механика (Расчетная задача высокого уровня сложности+обоснование) —Каталог задач по ЕГЭ - Физика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#20276

Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). Брусок в пять раз тяжелее доски. Система совершает колебания с амплитудой $A = 8$ см и периодом $T = 0,8$ с по поверхности стола под действием пружины, прикреплённой к бруску. Доска и брусок при колебаниях неподвижны относительно друг друга. При каких значениях коэффициента трения между доской и бруском такие колебания возможны? Какие законы вы использовали для решения задачи? Обоснуйте их применение.
(МФТИ, 1992)

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Брусок массой $M$ и доска $m$ имеют малые размеры по сравнению с пружиной и движутся поступательно, поэтому описываем их моделью материальной точки..

3. Так как тела являются материальнами точками, то описывать их движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

4. Так как тело $M$ сцеплено со стеной пружиной, то при малой деформации, по закону Гука в пружине возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть ее в исходное положение. На тело $M$ будет действовать сила упругости, стремящаяся вернуть систему в исходное положение.

Решение

Пусть масса бруска $M$ , а масса доски $m$ .
Период колебаний равен:

2π T =-ω ,

где $ω$ – циклическая частота колебаний.
Расставим силы, действующие на тела

Здесь $N1$ – сила реакции опоры стола, $N2$ – сила реакции опоры доски, $P$ – вес бруска, $Fтр$ – сила трения между доской и бруском.
Запишем второй закон Ньютона для бруска и доски:

F⃗тр+ ⃗N2+ M ⃗g =M ⃗a,

⃗Fтр +N⃗1 + ⃗P +m ⃗g = m ⃗a.

По третьему закону Ньютона $P = N2$ .
Для того, чтобы колебания совершались тела должны двигаться как одно целое, то есть ускорения тел в любой момент времени должны быть равны.
Спроецируем второй закон Ньютона на оси $y$ и $x$ :

( {N2 − Mg = 0 (Fу − Fтр =Max

({ N1 − N2− mg = 0 (F тр = max

Так как они двигаются как одно целое, то сила трения между брусками это сила трения покоя, то есть

F ≤μN ≤ μMg. тр 2

А отсюда:

μMg ≥ ma ⇒ μ ≥ max. x Mg

Если система совершает колебаний по закону:

x(t)= Asin(ωt+ φ0),

где $ω$ – циклическая колебаний, $φ0$ – начальная фаза.
То ускорение меняется по закону:

a(t)= x′′(t)= − Aω2sin(ωt).

Тогда максимальное ускорение равно:

(2π)2 am = A ω2 = A-T-2-.

И ограничение на коэффициент трения:

2 2 μ≥ mam- = m-A-(2π)2- = m--0,08(2⋅3,142)-≈ 0,1 Mg M gT 5m 10⋅(0,8)

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Обосновано описание бруска и доски моделью материальной точки.

3. Обосновано использование второго закона Ньютона.

4. Обосновано направление возникновение возвращающей силы и её направление.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатные оси, формула силы трения скольжения, формула связи амплитуды колебаний координаты тела с амплитудой колебаний его ускорения, формула периода свободных колебаний пружинного маятника, формула периода и частоты колебаний, условие совместного колебания тел).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#28240

Два однородных стержня длиной $3l$ и $4l$ и массой $m$ и $3m$ соответственно сварены концами под прямым углом друг к другу. Сделанный таким образом «прямой угол» повешен на двух нитях одинаковой длины, которые в равновесии занимают вертикальное положение (см. рисунок). Найти отношение сил натяжения левой и правой нитей. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.
(«Росатом», 2019, 11)

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Стержень будем описывать моделью абсолютно твердого тела - его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаются неизменным.

3. Движение абсолютно твердого тела можно описать совокопнустью движений - поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твердого тела в ИСО необходимо два условия. Одно для поступательного движения, другое - для вращательного движения.

4. Сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения)

5. У однородного тела центр тяжести находится посередине, к нему будет приложена сила тяжести.

Решение

Во-первых, заметим, что согласно теореме Пифагора расстояние между точками крепления нитей равно $5l$ . Далее по теореме Пифагора найдём $x$ и $y$ (см. правый рисунок)

По условию $x+ y = 5l$ .

x2+ z2 = 9l2

2 2 2 y + z = 16l

Вычтем из первого второе:

2 2 2 2 2 7 y − x = 7l ⇒ (y− x)(y +x) =7l ⇒ (y− x)⋅5l = 7l ⇒ y = 5l+ x.

Тогда

x + 7l+ x= 5l ⇒ x = 9l ⇒ y = 16l 5 5 5

Треугольники $ACD$ и $AF O$ подобны, при этом сила тяжести направлена из центра стержня, значит, коэффициент подобия равен 2 и плечо силы $mg$ относительно точки $A$ равно $x∕2$ . Аналогично для треугольников $BKE$ и $BF O$ , плечо силы $3mg$ равно $y∕2$ .

Момент силы можно найти по формуле: $M = Fl$ , где $F$ - сила, а $l$ - её плечо до рассматриваемой оси вращения.

Поэтому уравнение моментов относительно точки крепления левой нити $A$ дает

Tпр5l = mg x+ 3mg (x+ y) = 111mgl ⇒ Tпр = 111mg 2 2 10 50

А относительно точки крепления правой нити $B$

( x) y 89 89 Tлев5l = mg y+ 2 + 3mg 2 = 10mgl ⇒ Tлев = 50mg

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Сказано, что тело будем рассматривать моделью абсолютно твердого тела (форма и размеры неизменны).

3. Описано то, что движение тела описывается совокупностью поступательного и вращательного движения.

4. Сказаны условия равновесия тела относительно поступательного и вращательного движения.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: записана формула моменты силы, записано правило моментов. Расставлены все силы на рисунке, обозначены расстояния. Введены центры тяжести для стержней по отдельности).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#28239

К гвоздю, вбитому в вертикальную стенку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, опираясь о стенку. Нить составляет со стенкой угол $α= 30∘$ . Размеры катушки: $r = 1$ см, $R = 10$ см. Найти минимальное значение коэффициента трения $μ$ между стенкой и катушкой, при котором катушка неподвижна. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Сборник задач "Отличник ЕГЭ"

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Катушку будем считать абсолютно твёрдым телом - его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаются неизменным. Движение абсолютно твердого тела можно описать совокопнустью движений - поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твердого тела в ИСО необходимо два условия. Одно для поступательного движения, другое - для вращательного движения. Сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения)

3. Плоскость является касательной к поверхности катушки. По определению сила нормальной реакции опоры перпендикулярна плоскости соприкосновения тел, значит она направлена перпендикулярно плоскости. Так как основание катушки это окружность, то прямые которые проводятся перпендикулярно касательным, внутрь окружности, являются радиусами данной окружности, значит можно утверждать, что линия действия силы реакции опоры проходит через центр окружности основания цилиндра.

4. Сила трения явлется касательной силой реакции опоры и направлена параллельно вертикальной стене.

Решение

Момент силы можно найти по формуле: $M = Fl$ , где $F$ - сила, а $l$ - её плечо до рассматриваемой оси вращения.

Силы, действующие на катушку, изображены на рисунке, где $m⃗g$ – сила тяжести, $⃗T$ – сила натяжения нити, $Fтр$ – сила трения, $N⃗$ – нормальная составляющая силы реакции стены. Запишем второй закон Ньютона для катушки:

⃗ ⃗ ⃗ N + Fтр+ m⃗g+ T = m⃗a,

так как катушка неподвижна, то ускорение $a$ равно нулю. Спроецируем второй закон Ньютона на горизонтальную ось:

N = T sinα

Запишем также правило моментов сил относительно центра тяжести катушки:

F R = Tr. тр

Так как катушка покоится, то на неё действует сила трения покоя, которая выражается неравенством:

Fтр ≤ μN

Тогда

Fтр = T r-≤ μT sinα R

Отсюда

μ ≥ --r---= ---1-см----= 0,2 Rsinα 10 см ⋅sin30∘

То есть минимальное значение $μ$ равно 0,2.

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Сказано, что цилиндр будем рассматривать моделью абсолютно твердого тела (форма и размеры неизменны).

3. Описано то, что движение абсолютно твердого тела описывается совокупностью поступательного и вращательного движения.

4. Сказаны условия равновесия абсолютно твердого тела относительно поступательного и вращательного движения.

5. Обосновано направление силы нормальной и касательной реакции опоры.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: записан второй закон Ньютона для тела, записана формула момента силы, записано правило моментов).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#28238

Цилиндр массой $M = 10$ кг поместили на рельсы, наклоненные под углом $∘ α = 30$ к горизонту (вид сбоку показан на рисунке). Груз какой минимальной массы $m$ нужно прикрепить к намотанной на цилиндр нити, чтобы он покатился вверх? Проскальзывание отсутствует. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Цилиндр будем считать абсолютно твёрдым телом - его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаются неизменным. Движение абсолютно твердого тела можно описать совокопнустью движений - поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твердого тела в ИСО необходимо два условия. Одно для поступательного движения, другое - для вращательного движения. Сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения)

3. Так как по условию проскальзывание отсутствует, то трение между поверхностью и цилиндром отсутствует.

4. Плоскость является касательной к поверхности цилиндра. По определению сила нормальной реакции опоры перпендикулярна плоскости соприкосновения тел, значит она направлена перпендикулярно плоскости. Так как основание цилиндра это окружность, то прямые которые проводятся перпендикулярно касательным, внутрь окружности, являются радиусами данной окружности, значит можно утверждать, что линия действия силы реакции опоры проходит через центр окружности основания цилиндра.

5. Груз массой $m$ будем рассматривать моделью материальной точки, так как его размерами в условиях данной задачи можно пренебречь.

Решение

На цилиндр действуют приложенная к его центру сила тяжести $Mg$ , приложенная к его краю сила натяжения нити $T$ и сила реакции опоры $N$ .

Момент силы можно найти по формуле: $M = Fl$ , где $F$ - сила, а $l$ - её плечо до рассматриваемой оси вращения.

Цилиндр покатится вверх, если момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку $A$ перпендикулярно плоскости рисунка, будет меньше момента силы натяжения нити. Для силы $Mg$ плечо $AB$ равно $Rsin α$ , а для силы $T$ плечо $AD$ равно:

AD = R− AB = R − Rsinα =R (1 − sinα).

Тогда следует неравенство:

MgR sinα < TR(1− sinα).

Также запишем второй закон Ньютона для груза:

⃗ T + m⃗g =m ⃗a,

где $a$ – ускорение груза.
Так как по условию цилиндр должен катиться наверх, то ускорение $a$ направлено вниз. Спроецируем второй закон Ньютона на вертикальную ось:

mg− T = ma ⇒ T = m(g− a).

Подставим в неравенство из моментов:

Mg sinα < mg(1− sinα )− ma (1− sinα)

Отсюда

m > Mg-sinα-+-ma(1−-sinα-), 1 − sin α

При этом минимальность будет при $a= 0$ , тогда

m > M-sin-α-= 10 кг-⋅sin30∘= 10 кг 1− sinα 1 − sin 30∘

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Сказано, что цилиндр будем рассматривать моделью абсолютно твердого тела (форма и размеры неизменны).

3. Описано то, что движение абсолютно твердого тела описывается совокупностью поступательного и вращательного движения.

4. Сказаны условия равновесия абсолютно твердого тела относительно поступательного и вращательного движения.

5. Обосновано направление силы нормальной реакции опоры.

6. Обоснована возможность применения к грузу массой $m$ модели материальной точки.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: записан второй закон Ньютона для тела, записана формула момента силы, записано правило моментов).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#27087

Полушар радиусом $R$ покоится на горизонтальной поверхности стола. В точку A на полушаре помещают небольшую по сравнению с размерами полушара шайбу массой $m$ и отпускают (см. рисунок). Шайба скользит без трения и оказывается в точке B, а полушар при этом остаётся неподвижным. Радиусы OA и OB составляют с вертикалью углы $α$ и $β$ , такие, что $cosα = 5∕6$ , $cosβ = 2∕3$ .
1) Найти скорость шайбы в точке B.
2) Найти силу трения между полушаром и столом при прохождении шайбой точки B.

Показать ответ и решение

1) Запишем закон сохранения энергии для шайбы:

mv2B mgR cosα = mgR cosβ + -2--,

Отсюда:

∘ --(-----)- ∘ --- vB = ∘2g-(cosα-− cosβ)= 2g 5− 4 = gR. (1) 6 6 3

2) Расставим силы, действующие на шайбу (синим цветом) и полусферу (красным цветом) в точке $B$

Здесь $N$ – сила реакции опоры со стороны шайбы, а также из третьего закона Ньютона сила давления шайбы на полушар, $mg$ – сила тяжести шайбы, $Mg$ – сила тяжести полушара, $N1$ – сила реакции опоры со стороны стола, $Fтр$ – сила трения между столом и полушаром, $a$ – центростремительное ускорение Запишем второй закон Ньютона для шайбы:

⃗ N + m⃗g = m⃗a,

Спроецируем его на ось $y$ :

mg cosβ − N = ma,

центростремительное ускорение можно найти по формуле:

a= v2B-, R

тогда

2 mg cosβ− N = m vB, R

с учётом (1) и условия

2mg − N = mg-⇒ N = mg-. (2) 3 3 3

Запишем второй закон Ньютона для полушара:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ M ⃗g+ N1 +N + Fтр = M A,

где $A$ – ускорение полушара.
Так как полушар неподвижен, то $A = 0$ . Спроецируем второй закон Ньютона на ось $x$ :

N sinβ − Fтр = 0

С учетом, что $∘ -----2-- √5- sin β = 1− cos β = 3$ и (2), имеем:

√- √ - F тр = mg--5-= mg--5. 3 3 9

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#27085

Брусок, к вертикальной стойке которого на нити прикреплен шарик массы $m$ , покоится на шероховатой горизонтальной поверхности. Нить с шариком отклонили до горизонтального положения и отпустили без начальной скорости. Шарик движется в вертикальной плоскости по окружности. Брусок начинает скользить по поверхности в тот момент, когда нить составляет с вертикалью угол $α$ = $π ∕4$ Коэффициент трения скольжения бруска по поверхности $μ$ = $4∕7$ Ускорение свободного падения $g = 10 м/с2$ . Нить и стойка легкие.
1) Найдите силу $T$ натяжения нити в этот момент.
2) Найдите массу $M$ бруска.
(«Физтех», 2019, 10 )

Показать ответ и решение

1) Запишем закон сохранения энергии

mv21 mv21 mgl =-2--+ mgl(1 − cosα)⇒ -l--= 2mgcosα

Запишем второй закон Ньютона для шарика:

⃗T + m⃗g =m ⃗a,

где $T$ - сила натяжения нити, $a= v2∕l$ – центростремительное ускорение, $v$ – скорость тела, $l$ – длина нити.

На рисунке красным показаны силы, действующие на брусок, и синим – действующие на шарик. Запишем второй закон Ньютона на ось, сонаправленную с центростремительным ускорением

2 √- T − mg cosα= ma ⇒ T = mv-1+ mg cosα = 3mg cosα = 3-2mg l 2

2) Запишем второй закон Ньютона для бруска:

M ⃗g +N⃗+ F⃗ + ⃗T = MA⃗, тр

где $N$ – сила реакции опоры, $Fтр = μN$ – сила трения, $A$ – ускорение бруска.
Расстановка сила показана на рисунке выше красным цветом. Спроецируем второй закон Ньютона на вертикальную и горизонтальную ось:

Mg + T cosα +N

T sinα− Fтр = MA,

в момент начала скольжения $A ≈ 0$ , тогда

( ) T sinα = μ(Mg + T cosα)⇒ M = 3mg sin2α-− cos2α 2μ

Подставляем числа из условия

( ) 7 2 9 M = 3m 8 − 4 = 8m = 1,125m

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#27046

Маленький шарик массой m подвешен на нити и колеблется в вертикальной плоскости с угловой амплитудой $φ0 =arccos0,8$ .
1) Найти минимальную силу натяжения нити при колебаниях.
2) Найти максимальную силу натяжения нити при колебаниях.
3) Найти касательное ускорение шарика в момент, когда сила натяжения нити в 1,5 раза больше её минимального значения.
(«Физтех», 2016, 10–11 )

Показать ответ и решение

Запишем второй закон Ньютона:

m ⃗g+ ⃗T =m ⃗a,

где $T$ – сила натяжения нити, $2 a = v∕l$ – центростремительное ускорение, $v$ – скорость шарика, $l$ – длина нити.
Пусть $α$ – угол между вертикалью и силой натяжения нити. Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось, совпадающую с осью движения шарика, запишется в виде:

2 mg cosα − T = mv- l

Запишем также закон сохранения энергии

mv2- mv2- mgl(1− cosφ0) = 2 +mgl(1− cosα)⇒ l =2mg (cosα − cosφ0)

Тогда второй закон Ньютона запишется в виде

T − mg cosα= 2mg (cosα − cosφ0)⇒ T = 3mg cosα − 2mg cosφ0

1) Минимальная сила натяжения будет при $α = φ0$

T1 = mgcosφ0 = 0,8mg

2) Максимальная при $α = 0∘$

T1 =3mg − 2mg cosφ0 =1,4mg

3) По условию $T3 =1,5T1 = 1,2mg$ . Найдем угол между вертикалью и силой натяжения нитью $β$ , тогда

( ||||ma τ = mg sinβ { mv21 |||T3−2mg cosβ = l 2 |(mv-1= mgl(cosβ− cosφ0) ⇒ mv-1= 2mg(cosβ− cosφ0) 2 l

Из последних двух уравнений

T3 +2mg cosφ0 1,2mg + 1,6mg 2,8mg 14 T3 = 3mgcosβ− 2mg cosφ0 ⇒ cosβ =-----3------= ------3------= --3-- = 15

Откуда $sinβ$

∘ -------- √ -- sin β = 225−-196= --29 225 15

Откуда $aτ$

√29 aτ = -15 g

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#26351

На наклонной плоскости с углом наклона $α$ находится маленькое тело. На расстоянии $l$ от тела находится упругая стенка. Коэффициент трения между телом и плоскостью $μ$ ( $1 μ = 2tgα$ ). Тело отпускают. Оно скользит по плоскости вниз, отражается от стенки, поднимется, снова движется в направлении стенки, снова отражается и т. д. Какой путь пройдет тело к моменту его полной остановки? Столкновения тела со стенкой упругие. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.
(«Росатом», 2020, 11)

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Тело движется поступательно, его размеры малы по сравнению с размерами установки, будем описывать тело моделью материальной точки.

3. Так как тело является материальной точкой, то для описания его движения будем использовать второй закон Ньютона относительно ИСО.

4. Так как сумма работ всех сил равняется изменению кинетической энергии тела, то применим закон изменения кинетической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии выберем уровень, на котором находится стенка.

Решение

Изобразим силы, действующие на тело в процессе движения вниз (рис. 1) и вверх (рис. 2).

Где $Fтр$ – сила трения, $N$ – сила реакции опоры.
Запишем второй закон Ньютона:

F⃗тр+ ⃗N + m⃗g = m ⃗a

Спроецируем второй закон Ньютона на ось $y$ для движения вниз и вверх:

N − mg cosα = 0⇒ N =mg cosα.

Сила трения же равна:

Fтр = μN = μmg cosα.

При этом тело остановится у стенки. Запишем закон об изменении кинетической энергии:

0 = AN +Amg + Aтр,

где $AN$ – работа силы реакции опоры, $Amg$ – работа силы тяжести, $Aтр$ – работа силы трения.
Работа находится по формуле:

A = F Scosα,

где $F$ – сила, $S$ – перемещение, $α$ – угол между силой и перемещением.
Найдём работу каждой силы:

AN = NS cos90∘ = 0.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела

Amg = mglsinα.

Работа силы трения отрицательна, так как сила трения направлена противоположно движению бруска:

∘ Aтр = FтрScos180 = −FтрS = − μmg cosαS.

Тогда закон об изменении кинетической энергии запишется в виде:

1 0= mglsin α− μmg cosαS ⇒ S = μ-ltgα= 2l.

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета

2. Обоснована возможность применения к телу модели материальной точки

3. Обосновано применение второго закона Ньютона для описания движения тела

4. Обоснована возможность использования закона об изменении кинетической энергии

5. Введен нулевой уровень потенциальной энергии

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатные оси, формула силы трения скольжения, закон изменения механической энергии, формула для вычисления работы силы по перемещению тела).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#25066

С высоты $3R∕2$ соскальзывает без начальной скорости небольшой шарик, двигаясь без трения по жёлобу, расположенному в вертикальной плоскости (см. рисунок). Горизонтальный участок жёлоба плавно переходит в полуокружность радиуса $R$ . Какой максимальной высоты достигнет шарик после отрыва от жёлоба?
Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

МФТИ, 1994

$PIC$

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Тело движется поступательно, его размеры малы по сравнению с размерами установки, будем описывать тело моделью материальной точки.

3. Так как тело является материальной точкой, то для описания его движения будем использовать второй закон Ньютона относительно ИСО.

4. Применим закон сохранения энергии для описания движения тел, так как единственной непотенциальной силой является сила реакции опоры, действующая на тело. Эта сила перпендикулярна вектору скорости в процессе движения, а значит ее мощность и работа равняются нулю, полная механическая энергия тела не изменяется. За нулевой уровень потенциальной энергии выберем уровень, на котором находится нижняя точка траектории тела.

5. Так как тело будет двигаться по окружности, то оно будет обладать центростремительнм ускорением, направленным к центру окружности вращения.

Решение

Пусть $N$ – сила реакции опоры, $a$ – центростремительное ускорение, $mg$ – сила тяжести, $α$ – угол между силой тяжести и центростремительным ускорением.
В момент отрыва от петли $N$ будет равна 0, значит второй закон Ньютона запишется в виде

mv2- mgcosα = R (1)

Найдем скорость тела в момент отрыва, как разность потенциальных энергий

mv2 2mgR = -2--+ mgh ⇒ v2 = 2g(2R − h)= 2g(1,5R − R − Rcosα) (2)

где $h$ – высота отрыва шайбы от поверхности, $2mgR$ - потенциальная энергия тела на высоте $2R$ , $2 mv-- 2$ - кинетическая энергия на высоте $h$ , $mgh$ - потенциальная энергия на высоте $h$ .
Подставляем (2) в (1) и находим $cosα$

mg cosα= mg − 2mgcosα ⇒ cosα= 1 3

Откуда высота отрыва

h = R+ R cosα = 4R 3

Синус угла

2√2- sin α= 3

Или тангенс

√- tgα = 2 2

Скорость направлена перпендикулярно центростремительному ускорению, следовательно

√- √ - tgα = vy= 2 2 ⇒ vy = 2 2vx vx

Скорость тела в момент отрыва

v2 = gR- 3

Тогда горизонтальная и вертикальная составляющие скорости

gR ∘ gR- ∘ 8gR- 9v2x = 3-⇒ vx = 27-⇒ vy = -27-

После отрыва шайба дополнительно поднимется на высота $h′$ , пока скорость шайбы на станет равна нулю. Найдём эту высоту, для этого запишем уравнение кинематики на вертикальную ось:

H = h+ h′ = h+ v t− gt2, y 2

где $t$ – время движения.
Подъём будет осуществляться, пока вертикальная составляющая скорости не станет равна нулю.

Vy =vy − gt= 0 ⇒ t= vy. g

Тогда высота подъема

H = h+ h′ = h+ v2y = 40R- 2g 27

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета

2. Обоснована возможность применения к шарику модели материальной точки

3. Обосновано применение второго закона Ньютона для описания движения шарика

4. Обоснована возможность использования закона сохранения энергия для связи состояний

5. Обосновано наличие центростремительного ускорения

6. Введен нулевой уровень потенциальной энергии

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: закон сохранения энергии, второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатную ось для момента отрыва тела от петли, формулы центростремительного ускорения, кинетической и потенциальной энергии, уравнения кинематики для скорости и максимальной высоты подъема тела).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#24115

На вершине покоящейся на гладком горизонтальном столе горки массой $3m$ удерживают шайбу массой $m$ (см. рис.). Шайбу отпускают, и она скользит по горке без трения и отрыва и покидает горку. Горка, не отрывавшаяся от стола, приобретает скорость $u$ . Найти разность высот $H$ между вершинами горки. Верхняя часть поверхности правой вершины горки наклонена к вертикали под углом $β = 30∘$ . Направления всех движений параллельны плоскости рисунка.

Показать ответ и решение

Так как шайба движется без отрыва от горки, то относительная скорость шайбы при вылете с горки направлена под углом $β$ к перпендикуляру (см. рис.).

$PIC$

Изобразим треугольник скоростей

Здесь $vотн$ – скорость шайбы относительно горки, $u$ – скорость горки, $v$ – скорость шайбы в неподвижной системе отсчёта, $vx$ и $vy$ – проекция скорости $v$ на горизонтальную и вертикальную оси.
Запишем закон сохранения энергии:

mgH = 3mu2-+ mv2- 2 2

Запишем также закон сохранения импульса для горизонтальной системы отсчёта:

0= −3mu + mvx ⇒ vx = 3u.

Из треугольника скоростей можно найти $vy$

4u √ - tgβ = vy ⇒ vy = 4uctgβ =4 3u.

Из теоремы Пифагора

v2 = v2x +v2y =9u2 +48u2 = 57u2.

Тогда по закону сохранения энергии

( ) ( ) 2 H = -1 3u2+ v2 = -1 3u2+ 57u2 = 30u- 2g 2g g

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#23552

На гладкой горизонтальной поверхности вплотную к вертикальной стенке стоит брусок массой $M = 0,8$ кг, в котором сделано гладкое углубление полусферической формы радиусом $R = 0,2$ м. Из точки А начинает соскальзывать маленькая шайба массой $m = 0,2$ кг. Найдите максимальную высоту $h$ относительно нижней точки полусферы, на которую поднимется шайба при ее последующем движении. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

ДВИ МГУ 2020

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Шайба движется поступательно, её размеры малы по сравнению с размерами установки, будем описывать тело моделью материальной точки.

3. На максимальной высоте подъёма скорости шайбы и полусферы будут равны и направлены по горизонтали (вертикальная составляющая скорости шайбы равняется нулю в верхней точке) , не будет наблюдаться их относительного движения, после этого момента времени, шайба будет скатываться обратно вниз относительно полусферы.

4. На тело массой $m$ и полусферу $M$ действуют силы реакции опоры, так как поверхность полусферы гладкая, то суммарная работа сил нормальной реакции опоры действующей на шайбу массой $m$ и полусферу $M$ равняется нулю (идеальная связь). За нулевой уровень потенциальной энергии выберем нижнюю точку полусферы. Выполняется закон сохранения энергии для системы тел.

5. Так как на систему не действуют внешние силы по горизонтальному направлению, то выполняется закон сохранения импульса в проекции на эту ось.

Решение

До нижней точки движения шайба будет "давить"на брусок с силой, направленной вправо, следовательно, брусок не будет сдвигаться с места. При этом брусок давит на стенку, а стенка давит на брусок. Пусть эта сила равна $F д$ .

$PIC$

На высоте $R$ шайба имеет потенциальную энергию:

E1 = mgR.

А при движении в нижней точке углубления со скоростью $v0$ кинетическая энергия шайбы равна:

mv20 E2 = 2 .

Найдем скорость шайбы в нижней точке траектории из закона сохранения энергии движения шайбы вниз:

mv2 ∘ ---- E1 = E2 ⇒ mgR = -20-⇒ v0 = 2gR.

После прохождения нижней точки траектории шайба начнем давить на брусок и он начнет двигаться вправо. Максимальная высота будет достигнута тогда, когда скорость бруска и шайбы будет равна, пусть она равна $u$ . Воспользуемся законом сохранения импульса

mv⃗0 =(M + m )⃗u.

в проекции на горизонтальную ось:

-mv20-- mv0 = (M + m )u ⇒ u = M + m.

Пусть максимальная высота подъёма равна $h$ , тогда потенциальная энергия шайбы на этой высоте равна:

E3 = mgh,

при этом на этой высоте будет и кинетическая энергия шайбы и бруска, равна:

(m + M )u2 E4 =----2----.

Из закона сохранения энергии для движения шайбы вверх:

2 2 E2 = E4+ E3 ⇒ mv-0= (M-+-m)u- +mgh, 2 2

с учетом ранее написанных выражений, имеем

-m2gR- -2mR--- ⋅0,2⋅0,2- mgR = M +m +mgh ⇒ h= R − M + m = 0,2 − 0,8 +0,2 = 0,16 м

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета

2. Обоснована возможность применения к шайбе модели материальной точки

3. Обосновано применение закона сохранения импульса

4. Обосновано применение закона сохранения энергии для шайбы и системы тел вместе.

5. Введен нулевой уровень потенциальной энергии

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: закон сохранения механической энергии, формулы кинетической энергии точки, потенциальной энергии тела в однородном поле тяжести. Закон сохранения импульса сначала в векторном виде, после в проекции на выбранные оси).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#22289

Выведите формулу для периода колебаний математического маятника. Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Тело движется поступательно, поэтому его можно считать материальной точкой.

3. Так как тело является материальной точкой, то описывать его движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

Решение

Воспользуемся уравнением гармонических колебаний

a +ω2x = 0

Пусть груз отвели на малый угол $φ$ , тогда

x sinφ = l,

где $x$ – смещение по горизонтали, $l$ – длина нити.
Запишем второй закон Ньютона для маятника:

m ⃗a= m ⃗g+ ⃗T,

и спроецируем его на ось $X$ :

max = Tx.

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. $x > 0$ ), то:

Tx = − T sin φ= − Tx. l

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. $x <0$ ), то:

x Tx = T sinφ =− T l.

Итак, при любом положении маятника имеем:

x max = −T l

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство $T = mg$ . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство $T ≈ mg$ :

x g ma = −mg l ⇒ a+ lx = 0

Откуда $2 g ω = l$ и период

∘ -- T = 2π l g

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Обоснована возможность применения к телу модели материальной точки.

3. Обосновано применение второго закона Ньютона для описания движения тела.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатную ось, записано уравнение гармонических колебаний).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#22288

Выведите формулу для периода колебаний пружинного маятника. Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Тело движется поступательно, поэтому его можно считать материальной точкой.

3. Так как тело является материальной точкой, то описывать его движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

4. Так как тело сцеплено с пружиной, то при её деформации по закону Гука в ней возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть тело в исходное положение.

Решение

Воспользуемся уравнением гармонических колебаний

a +ω2x = 0

Запишем второй закон Ньютона при смешении на $x$ относительно положения равновесия

max =Fx,

где $Fx$ – силу упругости, действующая на груз со стороны пружины.
Если $x> 0$ , то сила упругости направлена в противоположную сторону, и $Fx < 0$ . Наоборот, если $x< 0$ , то $Fx > 0.$ Знаки $x$ и $Fx$ всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

Fx =− kx

Тогда второй закон Ньютона запишется в виде:

max = −kx⇒ ax+ k-x= 0 m

Тогда из нашего уравнения $ω2 =-k m$ . А период

∘ --- T = 2π= 2π m- ω k

Рассмотрим энергетический подход. Запишем закон сохранения энергии:

kx(t)2 mv-(t)2 2 + 2 = const,

где $v$ – скорость груза.
Продифференцируем выражение по времени $t$ . Производная от $x′(t)t = v(t)$ , $(x2(t))′ = 2x(t)⋅v(t).$ Производная от $v′(t)= a(t)$ , тогда $(v2(t))′ = 2v(t)⋅a(t).$ Производная от константы равна нулю $(const)′ =0$ . Тогда

( 2 2) ′ kx(t) + mv(t)- =(const)′ ⇒ kx(t)⋅v(t)+mv (t)⋅a(t) =0 ⇒ a+-kx = 0. 2 2 m

Получили тоже выражение, что и ранее

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Обоснована возможность применения к телу модели материальной точки.

3. Обосновано применение второго закона Ньютона для описания движения тела.

4. Обосновано наличие силы упругости и ее направление.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатную ось, закон Гука (формула силы упругости), записано уравнение гармонических колебаний).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#22287

Определите время полёта камня от одного полюса Земли до другого по прямому тоннелю, прорытому через центр. Плотность Земли считать постоянной. Радиус Земли принять равным $R = 6400$ км.

Показать ответ и решение

Камень, или иной, обладающий массой предмет, опущенный в такую шахту, будет совершать колебательное движение, потому что на поверхности планеты сила тяжести будет максимальной, а в центре Земли – сведётся к минимуму. По мере опускания камня в тоннеле будет уменьшаться масса участвующая в гравитационном взаимодействию. Камень в шахте испытывает притяжение только тех слоёв планеты, которые располагаются ниже его положения. Масса шара

4 3 M = 3πR ρ.

Пропорциональна $R3$ , поэтому:

3 Mr-= -x3. MR R

Из закона гравитации для силы, действующей со стороны нижних слоёв Земли ( $x< R$ ), следует:

Fгр = G Mrm-= GMRm--x; G MR-= gR;⇒ Fгр = m ⃗gx x2 R3 R2 R

По второму закону Ньютона

m⃗a = ⃗F

Тогда в проекции на ось $x$

mg max = − R-x

Воспользуемся уравнением гармонических колебаний

ax +ω2x = 0⇔ ax + gx =0 R

Тогда период колебаний

∘ -- T = 2π =2π R-≈ 84 мин ω g

Время полёта камня от полюса до полюса:

t= T-= 42 мин 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#20298

На гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту $α$ колеблются с амплитудой $A$ как одно целое вдоль прямой шайба массой m и брусок массой $3m$ под действием пружины жёсткостью $k$ , прикреплённой к бруску (см. рисунок). При каком минимальном коэффициенте трения скольжения между шайбой и бруском такие колебания возможны? Какие законы вы использовали для решения задачи? Обоснуйте их применение.
(МФТИ, 2005)

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Кубик массой $m$ и брусок $3m$ имеют малые размеры по сравнению с пружиной и движутся поступательно, поэтому описываем их моделью материальной точки..

3. Так как тела являются материальными точками, то описывать их движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

4. Так как тело $3m$ сцеплено со стеной пружиной, то при малой деформации, по закону Гука в пружине возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть ее в исходное положение. На тело $3m$ будет действовать сила упругости, стремящаяся вернуть систему в исходное положение.

Решение

Расставим силы, действующие на шайбу

$N$ – сила реакции опоры бруска, $Fтр$ – сила трения.
Запишем второй закон Ньютона для шайбы:

m⃗a = F⃗тр+ ⃗N +m ⃗g

Сила трения находится по формуле:

Fтр = μN.

Спроецируем на оси $x$ и $y$ :

( {N − mg cosα = 0 (1) ( μN − mg sinα = max (2)

Если система совершает колебаний по закону:

x(t)= Asin(ωt+ φ0),

где $ω$ – циклическая колебаний, $φ0$ – начальная фаза.
То ускорение меняется по закону:

a(t)= x′′(t)= − Aω2sin(ωt).

Тогда максимальное ускорение равно:

am = A ω2.

При этом циклическая частота равна:

∘ --- ω = -k-. 4m

При колебательном движении шайбы сила трения достигает максимального значения в крайнем нижнем положении шайбы. Для этого положения шайбы уравнение (2) с учётом (1) будет иметь вид:

μmg cosα− mg sinα = mA ω2

Совместные колебания шайбы и бруска будут возможны , если максимальная сила трения покоя будет больше или равна силе трения скольжения между шайбой и бруском:

μmgcosα ≥ mAω2 +mg sin α⇒ μ≥ tgα+ ---Ak---. 4mg cosα

И минимальное значение:

--Ak---- μmin = tgα + 4mgcosα

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Обосновано описание шайбы и бруска моделью материальной точки.

3. Обосновано использование второго закона Ньютона.

4. Обосновано направление возникновение возвращающей силы и её направление.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатные оси, формула силы трения скольжения, формула связи амплитуды колебаний координаты тела с амплитудой колебаний его ускорения, формула периода свободных колебаний пружинного маятника, формула периода и частоты колебаний, условие совместного колебания тел).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#20274

Шарик подвешен в поле тяжести на легкой упругой пружине с неизвестной жесткостью. Шарик поднимают вверх до положения, когда пружина не деформирована, и отпускают. При дальнейшем движении шарика вдоль вертикали в некоторые моменты времени силы, действующие на шарик со стороны пружины, отличаются в 2 раза, а модули ускорений равны.
1. Найти модуль ускорения в эти моменты.
2. Найти отношение кинетических энергий шарика в эти моменты.
3. Найти отношение максимальной энергии деформации пружины к максимальной кинетической энергии шарика.
(«Физтех», 2020, 11)

Источник: Физтех, 2020, 11

Показать ответ и решение

1) Пусть амплитуда колебаний равна $A$ , $k$ – жёсткость пружины, $m$ – масса шарика, $x$ – смещение груза от положения равновесия в искомые моменты. Так как первоначально нить отклонена в положение нерастянутой пружины, то выполнено равенство:

kA = mg ⇒ A = mg-. k

Если шарик совершает колебаний по закону:

x(t)= Acos(ωt),

где $ω$ – циклическая частота колебаний.
То ускорение меняется по закону:

′′ 2 a(t)= x (t)= − Aω cos(ωt).

Пусть модули ускорений равны в моменты $t1$ и $t2$ . Тогда выполнено равенство:

|cos(ωt1)|= |cos(ωt2)|

Тогда

|x(t1)|= |x(t2)|

Следовательно

2k(A− x)= k(A +x).

Запишем второй закон для шарика, в проекции на вертикальную ось

mg − k(A − x) = ma

Тогда

a = g. 3

2) Скорость изменяется по закону:

v(t)= x′(t)= Aω sin(ωt).

Тогда скорости в эти моменты равны и тогда кинетические энергии, которые находятся по формуле:

E1 = mv-(t1)2, E2 = mv(t2)2. 2 2

тоже равны.
3) Максимальное отклонение пружины от положения недеформированной пружины равно $2A$ , тогда максимальная потенциальная энергия пружины равна:

2 E п = k(2A)-. 2

А максимальная кинетическая энергия груза:

2 E к = mvm-, 2

где $vm = Aω$ – максимальная скорость груза. Так как

ω = k, m

то

k- vm =A m

и искомое соотношение:

E k(2A2) k ⋅4A2 E-п= m-(Aω)2 = m-⋅v2-= 4. к m

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#20266

Два одинаковых шарика массой $m$ каждый, связанные пружиной жесткостью $k$ и длиной $l$ , лежат неподвижно на гладком горизонтальном столе. Третий такой же шарик движется со скоростью $v0$ , по линии, соединяющей центры шариков, связанных пружиной, и совершает упругое соударение с одним из них. Определить максимальное и минимальное расстояния между шариками, связанными пружиной, при их дальнейшем движении. Принять, что $v0 < l∘2k-∕m-$ . Массой пружины, временем соударения и трением пренебречь.

ВМК МГУ

Показать ответ и решение

Из законов сохранения импульса и энергии, записанных для упругого соударения одинаковых по массе шариков, следует, что они при ударе обмениваются скоростями. Поэтому после соударения двигавшийся шарик остановится, а покоившийся приобретет скорость $v0$ . При последующем движении шариков, связанных пружиной, также будут сохраняться импульс и энергия. Учитывая, что в моменты времени, когда расстояния между шариками максимальны или минимальны, их относительная скорость обращается в нуль, для этих моментов времени имеем: $mv0 = 2mv$ ,

mv20- 2mv2- kx2 2 = 2 + 2 ,

где $v$ – скорость шариков, $x$ –удлинение пружины. Исключая из этих соотношений $v$ , находим

∘ m-- x= ±v0 2k

тогда ответ

∘ --- ∘ --- lmax = l+v0 m- lmin =l− v0 m- 2k 2k

Критерии проверки

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8 баллов ставится если: сказано, с какими скоростями будут двигаться шары после соударения

7 баллов ставится если: записан закон сохранения импульса для необходимого момента времени

6 баллов ставится если: записан закон сохранения энергии

4 балла ставится если: верно найдены формулы для максимального и минимального расстояния между шариками

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

____________________________________________________________________________________________________

4 балла ставится если: записан закон сохранения энергии

4 балла ставится если: записан закон сохранения импульса

3 балла ставится если: выражено максимальное расстояние между шариками

3 балла ставится если: выражено минимальное расстояние между шариками

1 балл ставится если: сказано, что в моменты максимального и минимального расстояния между шаркиами, их относительная скорость равна нулю

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#20262

Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с периодом $0,5с$ вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно отношение массы бруска к массе грузика? Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Все тела движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками.

3. Так как грузы являются материальными точками, то описывать их движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

4. Так как груз висит на пружине, то при её деформации по закону Гука в ней возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть тело в исходное положение.

Решение

Координата грузика при колебаниях может быть записана как

x = x0cos(ωt+ φ0)

А период

∘ --- T = 2π m- k

Запишем второй закон Ньютона для грузика:

m⃗a= m⃗g +F ⃗упр1

где $a$ – ускорение, $m$ – масса, $Fупр1$ – сила упругости пружины.
Запишем второй закон Ньютона для бруска:

M ⃗a′ = ⃗N +F⃗тр+ M ⃗g+ Fу⃗пр2,

где $M$ – масса, $a′$ – ускорение, $N$ – сила реакции стола, $Fтр$ – сила трения, $Fупр2$ – сила упругости нити. Так как нить нерастяжима и невесома, то $Fупр1 = Fупр2 = Fупр$ .
Тогда спроецировав первое уравнение на вертикальную ось, для случая, когда груз находится в нижней точке траектории, получим:

ma = Fупр− mg

а второе на горизонтальную и вертикальную ось, с учетом, что брусок остается на месте

Fупр = Fтр N = Mg

Сила трения скольжения равна

Fтр = μN = μMg

Тогда, чтобы брусок не поехал под действием качений грузика, нужно, чтобы соблюдалось условие:

mg + ma ≤ μMg

Откуда отношение масс равно

M-= g-+a m μg

Определить ускорение можно, взяв вторую производную по координате:

′ υx = x = −ωx0sin(ωt +φ0)

′′ 2 ax = x = −ω x0cos(ωt+ φ0)

Максимальное ускорение равно

|| 2 || 2 |amax|=|− ω2x0|= ||− 4π2x0||= 4πx20- T T

Подставим это ускорение в полученное отношение масс:

4π2x0 10 + 4π2⋅0,04- M-= g-+--T2- = -----0,25--= 6,53 m μg 2,5

Также в гармонических колебаниях должно быть выполнено условие: нить всё время натянута, поэтому груз нигде не переходит в режим свободного падения.

4π2x gT 2 |amax|<g ⇔ -T-20< g ⇒ x0 < 4π2

Предельный случай, когда $x0 = A$ , то есть

2 A = x0 < gT 4π2

Как видим, это условие не зависит от масс грузов, следовательно, оно будет выполняться всегда в условиях этой задачи и ответ будет зависеть только от первого условия.

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Обоснована возможность применения к телам модели материальной точки.

3. Обосновано применение второго закона Ньютона для описания движения тел.

4. Обосновано наличие силы упругости и ее направление.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатную ось, закон Гука (формула силы упругости), формула силы трения скольжения, уравнение гармонических колебаний).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#19869

Горка массой $4m$ с шайбой массой $m$ покоятся на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). От незначительного толчка шайба начинает скользить по горке без трения, не отрываясь от неё, и покидает горку. Горка, не отрывавшаяся от стола, приобретает скорость $u$ . С какой скоростью шайба упадёт на стол? Нижняя часть поверхности горки составляет угол $30∘$ с вертикалью и находится на расстоянии $H$ от поверхности стола. Направления всех движений параллельны плоскости рисунка.

Показать ответ и решение

Так как шайба движется без отрыва от горки, то относительная скорость шайбы при вылете с горки направлена под углом $γ$ к перпендикуляру (см. рис.).

Запишем закон сохранения импульса:

0= 4m ⃗u+ m⃗v,

где $v$ – скорость шайбы.
В проекции на горизонтальную ось $x$ :

0= −4mu + mvx ⇒ vx = 4u.

Изобразим треугольник скоростей

Здесь $vотн$ – скорость шайбы относительно горки, $u$ – скорость горки, $v$ – скорость шайбы в неподвижной системе отсчёта, $vx$ и $vy$ – проекция скорости $v$ на горизонтальную и вертикальную оси.
Из треугольника скоростей можно найти $vy$

tgγ = 5u⇒ vy = 5uctgγ = 5√3u. vy

Из теоремы Пифагора

2 2 2 2 2 2 v = vx+ vy = 16u + 75u = 91u .

Запишем также закон сохранения энергии при движении шайбы вниз после отрыва от горки:

mv2 mv2 -21-= -2--+ mgH,

где $v1$ – искомая конечная скорость.
Откуда

∘ -------- ∘ ---------- v1 = 2gH + v2 = 2gH +91u2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#19868

Трубка в виде петли жёстко укреплена на платформе, находящейся на гладкой горизонтальной поверхности стола. Правый конец трубки горизонтален, его расстояние до стола равно $h$ . В трубке на высоте $H$ удерживается шарик массой m, который может скользить по трубке без трения (см. рисунок). Масса платформы с трубкой $4m$ . Система покоится. Шарик отпускают. Найти скорость вылетевшего из трубки шарика, если:
1) платформа закреплена на столе;
2) платформа не закреплена и после вылета шарика движется поступательно.
МФТИ, 1997

Показать ответ и решение

1) Если платформа закреплена на столе, то её скорость равна нулю. Запишем закон сохранения энергии:

mv2 mgH = mgh + -2-,

отсюда искомая скорость $v$ :

∘ -------- v = 2g(H − h).

2) Если платформа не закреплена, то она имеет некоторую скорость. Запишем закон сохранения импульса:

0= m ⃗V + 4m⃗u,

где $V$ – скорость шарика при вылете из трубки, $u$ – скорость платформы при вылете шарика.
Спроецируем закон сохранения импульса на горизонтальную ось:

mV = −4mu ⇒ V = − 4u.

Запишем закон сохранения энергии:

mV 2 4mu2 mgH = mgh + -2--+ --2--

Отсюда:

∘ --------- g(H − h)= V-2+ V-2⇒ V = 8g(H − h). 2 8 5

Ответ: