Исполнитель «Чертёжник» (страница 3)
Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).
Цикл
ПОВТОРИ число РАЗ
последовательность команд
КОНЕЦ ПОВТОРИ
Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).
Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:
НАЧАЛО
сместиться на (10, 20)
ПОВТОРИ \(k\) РАЗ
сместиться на \((c, d)\)
сместиться на (\(-32,\; -28\))
КОНЕЦ ПОВТОРИ
сместиться на (\(-30,\; -50\))
КОНЕЦ
Укажите минимальное значение числа \(k>1\), для которого найдутся такие значения чисел \(c\) и \(d\), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.
Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за \(\Delta x,\) второй – за \(\Delta y.\)
Запишем изменения координат:
\(\Delta x = 10 + k(c-32)-30;\)
\(\Delta y = 20 + k(d-28)-50.\)
Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.
Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:
\[\begin{cases} 10 + k(c-32)-30 = 0 \\ 20 + k(d-28)-50 = 0 \end{cases}\]
Преобразуем выражение:
\[\begin{cases} k(c-32) = 20 \\ k(d-28) = 30 \end{cases}\]
Можно заметить, что нам требуется такое минимальное число k, чтобы оно было делителем и 20, и 30. Это число 2.
Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).
Цикл
ПОВТОРИ число РАЗ
последовательность команд
КОНЕЦ ПОВТОРИ
Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).
Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:
НАЧАЛО
сместиться на (10, 20)
ПОВТОРИ \(k\) РАЗ
сместиться на \((c, d)\)
сместиться на (\(-32,\; -28\))
КОНЕЦ ПОВТОРИ
сместиться на (\(-30,\; -50\))
КОНЕЦ
Укажите максимальное значение числа \(k>1\), для которого найдутся такие значения чисел \(c\) и \(d\), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.
Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за \(\Delta x,\) второй – за \(\Delta y.\)
Запишем изменения координат:
\(\Delta x = 10 + k(c-32)-30;\)
\(\Delta y = 20 + k(d-28)-50.\)
Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.
Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:
\[\begin{cases} 10 + k(c-32)-30 = 0 \\ 20 + k(d-28)-50 = 0 \end{cases}\]
Преобразуем выражение:
\[\begin{cases} k(c-32) = 20 \\ k(d-28) = 30 \end{cases}\]
Можно заметить, что нам требуется такое максимальное число k, чтобы оно было делителем и 20, и 30, т.е. НОД этих чисел. НОД(20,30)=10
Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).
Цикл
\(\quad\) ПОВТОРИ число РАЗ
\(\quad \quad\) последовательность команд
\(\quad\) КОНЕЦ ПОВТОРИ
Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:
НАЧАЛО
\(\quad\) сместиться на (605, 919)
\(\quad\) ПОВТОРИ \(k\) РАЗ
\(\quad \quad\) сместиться на \((c, d)\)
\(\quad \quad\) сместиться на (-928 , 592)
\(\quad\) КОНЕЦ ПОВТОРИ
\(\quad\) сместиться на (496, 801)
КОНЕЦ
Укажите наибольшее возможное значение целого числа \(k>0\), для которого найдутся такие значения чисел \(c, d\), что после выполнения программы Чертёжник из начального положения переместится в точку (-6,63).
После выполнения команды вне цикла сместиться на (605, 919) и выполнения завершающей команды вне цикла сместиться на \((496, 801)\) Чертёжник окажется в точке с координатами \((1101, 1720)\). После выполнения только Цикла ПОВТОРИ \(k\) РАЗ Чертёжник переместится на \( k\cdot(с-928, d+592)\).
Так как после выполнения программы Чертёжник из начального положения переместится в точку (-6,63), имеем два уравнения: \(k \cdot (c-928)+1101=-6\) и \(k \cdot (d+592)+1720=63\). Получится система уравнений состоящая из уравнения \(k \cdot (c-928)=-1101-6\) и уравнения \(k \cdot (d+592)=-1720+63\), в итоге получатся уравнения: \(k \cdot (c-928)=-1107\), \(k \cdot (d+592)=-1657\).
Переменные \(c\), \(d\) и \(k\) должны быть целыми, причём \(k > 0\). Следовательно, числа -1107 и -1657 должны быть кратны \(k\), разложим на множители наши числа, \(-1107=-3^3 \cdot 41\), но число \(-1657\) является простым, следовательно, делится только на себя или на 1, поэтому подходящее \(k>0\) равно 1.
Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).
Цикл
\(\quad\) ПОВТОРИ число РАЗ
\(\quad \quad\) последовательность команд
\(\quad\) КОНЕЦ ПОВТОРИ
Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:
НАЧАЛО
\(\quad\) сместиться на (745, 391)
\(\quad\) ПОВТОРИ \(k\) РАЗ
\( \quad \quad \)сместиться на \((c, d)\)
\( \quad \quad \)сместиться на (476, 631)
\(\quad\) КОНЕЦ ПОВТОРИ
\( \quad\) сместиться на (792, 825)
КОНЕЦ
Укажите количество возможных значений числа \(k>1\), для которого найдутся такие значения чисел \(c, d\), что после выполнения программы Чертёжник из начального положения переместится в точку (25,46).
После выполнения команды вне цикла сместиться на (745, 391) и выполнения завершающей команды вне цикла сместиться на \((792, 825)\) Чертёжник окажется в точке с координатами \((1537, 1216)\). После выполнения только Цикла ПОВТОРИ \(k\) РАЗ Чертёжник переместится на \( k\cdot(c+476, d+631)\).
Так как после выполнения программы Чертёжник из начального положения переместится в точку (25,46), имеем два уравнения: \(k \cdot (c+476)+1537=25\) и \(k \cdot (d+631)+1216=46\). Получится система уравнений состоящая из уравнения \(k \cdot (c+15)=-1512\) и уравнения \(k \cdot (d-9)=-1170\).
Переменные \(c\), \(d\) и \(k\) должны быть целыми, причём \(k > 1\). Следовательно, числа -1512 и -1170 должны быть кратны \(k\), разложим на множители наши числа, \(-1512= -2^3\cdot3^3\cdot7\) и \(-1170=-2\cdot3^2\cdot5\cdot13\), общие множители здесь \(2, 3^2\), поэтому подходящие \(k\) можно получить как раз с помощью общих множителей. Нужные \(k\) равны \(2, 3, 6=2 \cdot 3, 9=3^2, 18=3^2 \cdot 2\), количество подходящих \(k=1+1+1+1+1=5\).
Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).
Цикл
\(\quad\) ПОВТОРИ число РАЗ
\(\quad \quad\) последовательность команд
\(\quad\) КОНЕЦ ПОВТОРИ
Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:
НАЧАЛО
\(\quad\) сместиться на (50, 40)
\(\quad\) ПОВТОРИ \(k\) РАЗ
\(\quad \quad\) сместиться на \((c, d)\)
\(\quad \quad\) сместиться на (-69, 97)
\(\quad\) КОНЕЦ ПОВТОРИ
\(\quad\) сместиться на (57, 78)
КОНЕЦ
Укажите количество возможных значений числа \(k>1\), для которого найдутся такие значения чисел \(c, d\), что после выполнения программы Чертёжник из начального положения переместится в точку (-12,-36).
После выполнения команды вне цикла сместиться на (50, 40) и выполнения завершающей команды вне цикла сместиться на \((57, 78)\) Чертёжник окажется в точке с координатами \((107, 118)\). После выполнения только Цикла ПОВТОРИ \(k\) РАЗ Чертёжник переместится на \( k\cdot(c-69, d+97)\).
Так как после выполнения программы Чертёжник из начального положения переместится в точку (-12,-36), имеем два уравнения: \(k \cdot (c-69)+107=-12\) и \(k \cdot (d+97)+118=-36\). Получится система уравнений состоящая из уравнения \(k \cdot (c-69)=-119\) и уравнения \(k \cdot (d+97)=-154\).
Переменные \(c\), \(d\) и \(k\) должны быть целыми, причём \(k > 1\). Следовательно, числа -119 и -154 должны быть кратны \(k\), подходящее \(k\) равно 7 количество подходящих \(k\) равно 1.
Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).
Цикл
\(\quad\) ПОВТОРИ число РАЗ
\(\quad \quad\) последовательность команд
\(\quad\) КОНЕЦ ПОВТОРИ
Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:
НАЧАЛО
\(\quad\) сместиться на (46, 84)
\(\quad\) ПОВТОРИ \(k\) РАЗ
\(\quad \quad\) сместиться на \((c, d)\)
\(\quad \quad\) сместиться на (-27, 48)
\(\quad\) КОНЕЦ ПОВТОРИ
\(\quad\) сместиться на (26, 24)
КОНЕЦ
Укажите количество возможных значений числа \(k>1\), для которого найдутся такие значения чисел \(c, d\), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.
После выполнения команды вне цикла сместиться на (46, 84) и выполнения завершающей команды вне цикла сместиться на \((26, 24)\) Чертёжник окажется в точке с координатами \((72, 108)\). После выполнения только Цикла ПОВТОРИ \(k\) РАЗ Чертёжник переместится на \( k\cdot(c-27, d+48)\).
Так как требуется, чтобы после выполнения программы Чертёжник вернулся в исходную точку (0,0), имеем два уравнения: \(k \cdot (c-27)+72=0\) и \(k \cdot (d+48)+108=0\). Получится система уравнений состоящая из уравнения \(k \cdot (c-27)=-72\) и уравнения \(k \cdot (d+48)=-108\).
Переменные \(c\), \(d\) и \(k\) должны быть целыми, причём \(k > 1\). Следовательно, числа -72 и -108 должны быть кратны \(k\), подходящие \(k\) равны: 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, количество подходящих \(k=1\)+1+1+1+1+1+1+1=8.
Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на \((c, d)\), где \(c\) и \(d\) — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами \((x, y)\) в точку с координатами \((x+c, y+d)\).
Цикл
\(\quad\) ПОВТОРИ число РАЗ
\(\quad \quad\) последовательность команд
\(\quad\) КОНЕЦ ПОВТОРИ
Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:
НАЧАЛО
\( \quad \quad\) сместиться на (5, 42)
\( \quad\)ПОВТОРИ \(k\) РАЗ
\( \quad \quad \quad\) сместиться на \((c, d)\)
\( \quad \quad \quad\) сместиться на (58, 75)
\( \quad\) КОНЕЦ ПОВТОРИ
\( \quad \quad\) сместиться на (2, 7)
КОНЕЦ
Укажите количество возможных значений числа \(k>1\), для которого найдутся такие значения чисел \(c, d\), что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.
После выполнения команды вне цикла сместиться на (5, 42) и выполнения завершающей команды вне цикла сместиться на \((2, 7)\) Чертёжник окажется в точке с координатами \((7, 49)\). После выполнения только Цикла ПОВТОРИ \(k\) РАЗ Чертёжник переместится на \( k\cdot(c+58, d+75)\).
Так как требуется, чтобы после выполнения программы Чертёжник вернулся в исходную точку (0,0) (0,0), имеем два уравнения: \(k \cdot (c+58)+7=0\) и \(k \cdot (d+75)+49=0\). Получится система уравнений состоящая из уравнения \(k \cdot (c+15)=-7\) и уравнения \(k \cdot (d+75)=-49\).
Переменные \(c\), \(d\) и \(k\) должны быть целыми, причём \(k > 1\). Следовательно, числа -7 и -49 должны быть кратны \(k\), подходящее \(k\) равно 7, количество подходящих \(k=1\).