Логические уравнения
При каких значениях переменных \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ложно выражение:
\( (B \vee C) \vee (A \rightarrow (\neg A \wedge \neg B) \vee D) \)
В качестве ответа запишите значения \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) в указанном порядке, без дополнительных знаков и пробелов.
Высказывание представляет собой дизъюнкцию двух скобок, тогда для ложности всего выражения необходима ложность обеих скобок. Рассмотрим каждую отдельно:
1) \( (B \vee C) = 0 \Longrightarrow B = 0, C = 0;\)
2) \( (A \rightarrow (\neg A \wedge \neg B) \vee D) = 0 \Longrightarrow A = 1, (\neg A \wedge \neg B) \vee D) = 0\) (т.к. импликация ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе ложно: \( 1 \rightarrow 0 = 0 \))
3) \( (\neg A \wedge \neg B) \vee D) = 0 \Longrightarrow D = 0 \) (\( A \) и \( B \) мы уже знаем, а \( D \) должно равняться нулю, т.к. иначе дизъюнкция не станет ложной)
Получаем ответ: 1000.
При каких значениях переменных \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ложно выражение:
\((C \wedge A) \vee (A \rightarrow D) \vee \bar B\)
В качестве ответа запишите значения \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) в указанном порядке, без дополнительных знаков и пробелов.
Выражение представляет собой дизъюнкцию трех выражений, а дизъюнция ложна только тогда, когда ложны оба высказвания, отсюда получаем:
\[\begin{cases} (C \wedge A) = 0\\ (A \rightarrow D) = 0\\ \bar B = 0 \end{cases}\]
Можно сразу заметить, что \(B = 1\). \((A \rightarrow D) = 0\) только тогда, когда \(A = 1\) и \(D = 0\). \((C \wedge A) = 0\) верно, когда \( C \) и/или \(A\) равны 0, но мы уже выяснили, что \(A = 0\), следовательно \(C = 0\). Тогда ответ: 1100
При каких значениях переменных \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ложно выражение:
\((\bar C \wedge (\bar B \vee A)) \rightarrow ((\bar C \wedge \bar D) \vee A)\)
В качестве ответа запишите значения \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) в указанном порядке, без дополнительных знаков и пробелов.
Выражение представляет собой импликацию \((\bar C \wedge (\bar B \vee A))\) и \(((\bar C \wedge \bar D) \vee A)\), а чтобы импликация была ложной, необходимо, чтобы первое выражение было истинно, а второе ложно:
1) Конъюнкция \((\bar C \wedge (\bar B \vee A)) = 1\) тогда, когда:
\((\bar C = 1) \Longrightarrow\) \((C = 0)\)
\(((\bar B \vee A) = 1) \Longrightarrow\) подойдут следующие значения для \(A\) и \(B\): \(A = 1, B = 0\); \(A = 1, B = 1\); \(A = 0, B = 0 \). Однозначно выбрать верные значения пока нельзя, вернёмся к этому позже.
2) Дизъюнкция \(((\bar C \wedge \bar D) \vee A ) = 0\) тогда, когда \(D = 1\)(т.к. уже известно, что \( C = 0 \)) и \( A = 0 \).
3) Теперь вернемся к скобке \( (\bar B \vee A) \), которая, как мы выяснили, должна быть истинна. Из того, что \( A = 0 \), следует, что \( B = 1 \). Получаем ответ: 0001.
При каких значениях переменных \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ложно выражение:
\( (A \rightarrow B) \rightarrow ((C \rightarrow B) \vee D)\)
В качестве ответа запишите значения \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) в указанном порядке, без дополнительных знаков и пробелов.
Все выражение является импликацией двух скобок, а импликация ложна тогда и только тогда, когда первое выражение истинно, а второе ложно. Можно заметить, что вторая скобка \( ((C \rightarrow B) \vee D) \) представляет собой дизъюнкцию двух выражений: \((C \rightarrow B)\) и \( D \). Для выполнения ложности всего выражения, как мы уже выяснили, вся вторая скобка должна быть ложной, а дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда ложны оба выражения:
1) \( (C \rightarrow B) = 0 \Longrightarrow C = 1, B = 0\)
2) \( D = 0 \)
Теперь вернемся к левой части ипликации\((A \rightarrow B)\), которая, как мы выяснили ранее, должна давать истину. Зная, что \( B = 0 \), следует, что \( A = 0 \), ведь если \( A = 1 \), \( 1 \rightarrow 0 = 0 \). Получаем ответ 0010
Сколько существует целых значений \( x \), при которых истинно высказывание:
\( (|x| > 1) \wedge \neg (|x| \geqslant 10) \wedge (|x| \geqslant 15) \)
Данное выражение представляет собой конъюнкцию нескольких высказываний, а значит: для истинности всего выражения необходима истинность каждого из высказываний:
1) Из скобки \( (|x| > 1) \) следует, что \( x \neq -1\), \( x \neq 0\), \( x \neq 1 \).
2) \( \neg (|x| \geqslant 10) \Longrightarrow (|x| < 10) \Longrightarrow x \in \{-9,\ldots, -2\} \cup \{2,\ldots, 9\}\).
3) Из скобки \( (|x| \geqslant 15) \) следует, что модуль числа должен быть больше либо равен 15, но ни одно число из множества, полученного в пункте 2 не соответствует данному условию, значит ответ 0.
Высказывание: \(( A \neq B ) \wedge ((A \leqslant B) \vee (B > C)) \wedge ((B > A) \rightarrow (C > B))\) истинно для целых \( A \), \( B \) и \( C \). Чему равно \( B \), если \( A = 19 \) и \( C = 17 \)?
Выражение представляет собой конъюнкцию трех скобок, а значит: для истинности всего высказывания необходима истинность каждой из трех скобок. Рассмотрим их поочередно:
1) \(( A \neq B ) \Longrightarrow B \neq 19\).
2) \( ((A \leqslant B) \vee (B > C)) \Longrightarrow ((B \geqslant 19) \vee (B > 17)) \Longrightarrow B \in [18; +\infty) \Longrightarrow \) Если пересечь с 1), получим: \( B \in \{18\} \cup [20; +\infty) \)
3) Импликация истинна в трех случаях: \( 1 \rightarrow 1 \), \( 0 \rightarrow 0 \), \( 0 \rightarrow 1 \). Рассмотрим каждый из вариантов:
\( 1 \rightarrow 1 \): \( B > 19 \) и \( B < 17 \) — это невозможно.
\( 0 \rightarrow 0 \): \( B \leqslant 19 \) и \( B \geqslant 17 \) — подходят 17, 18 и 19. Пересечем с 2) и останется только 18
\( 0 \rightarrow 1 \): \( B \leqslant 19 \) и \( B < 17 \) — \( B \in (-\infty; 17) \). Пересечем с 2) и останется \(\varnothing\)
Получаем ответ 18.
Найдите наибольшее целое положительное число \( x \), при котором ложно высказывание:
\( (x^2 < 40) \rightarrow (5x - 5 \geqslant 25)\)
Импликация ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе ложно (\( 1 \rightarrow 0 = 0 \)):
1) \( (x^2 < 40) \) — должно быть истинно \( \Longrightarrow x \in [1; 6]\).
2) \( (5x - 5 \geqslant 25) \) — должно быть ложно \( \Longrightarrow 5x - 5 < 25; 5x < 30; x < 6 \Longrightarrow x \in [1; 6)\).
3) Пересечем 1) и 2) и получим: \( x \in [1, 5] \). Наибольшее значение — 5 \( \Longrightarrow \) Ответ: 5.